Question

1. Podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogolnej wiedząc, ze do jej wykresu należa punkty A(-1;9) B(1;9) C(0;-5)

2. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej wiedząc, że dla argumentu -5 funkcja przyjmuje wartość największą równą -8, a do jej wykresu należy punkt A(-3,-9)

3. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że jej miejscami zerowymi sa liczby -2i 6 oraz , że zbiorem wartości jest przedział (-∞, 16>

4. Ile punktów wspólnych ma parabola y= -7(x-1)do kwadratu + 4 z prostą

a) f(x)=4

b) f(x)=6

c) f(x)= -8

4. Dana jest funkcja f(x)= 4(x+3)do kwadratu+1. Określ liczbe rozwiązań równania f(x)=k w zależności od parametru k.

Answer 1

zad 1

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: y=ax²+bx+c

-------------------

Dane są punkty: A(-1;9) B(1;9) C(0;-5) które należą do wykresu funkcji kwadratowej. 

Należy rozwiązać układ równań:

{f(-1)=9

{f(1)=9

{f(0)=-5

---

{9=a-b+c

{9=a+b+c

{-5=c

---

{9=a-b-5

{9=a+b-5

{-5=c

---

{14+b=a

{14=14+b

{-5=c

---

{14+b=a

{b=0

{c=-5

---

{a=14

{b=0

{c=-5

Zatem funkcja przyjmuje postać ogólną: y=14x²-5

------------------------------------

zad 2

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: y=a(x-p)²+q, gdzie W(p,q) - współrzędne wierzchołka paraboli.

----------------

Dla x=-5, funkcja kwadratowa ma największą wartość y=-8 - funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą (lub największą wartość) w wierzchołku. Czyli punkt P(-5, -8) to wierzchołek paraboli. Ponadto:

- f. kwadratowa ma największą wartość, gdy współczynnik kierunkowy a<0 (ramiona paraboli skierowane są w dół),

- f. kwadratowa ma najmniejszą wartość, gdy współczynnik kierunkowy a>0 (ramiona paraboli skierowane są w górę).

Z tej informacji wiadome jest, że współczynnik kierunkowy zadanej funkcji a<0.

-----------------

y=a(x+5)²-8

Do wykresu należy punkt A(-3, -9), czyli

-9=a(-3+5)²-8

-1=a*2²

4a=-1

a=-1/4

Wzór funkcji: y=-1/4(x+5)²-8

------------------------------------

zad 3

Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej: y=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁, x₂ - pierwiastki (miejsca zerowe) funkcji kwadratowej.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi Ox i w przypadku funkcji kwadratowej jest on określony (najczęściej) w postaci przedziałów:

1° Y∈ <q, ∞) - wtedy a>0

2° Y∈(-∞, q> - wtedy a<0

gdzie q - druga współrzędna wierzchołka paraboli.

------------------

1. Druga współrzędna wierzchołka [W(p, 16)]

Należy obliczyć współrzędną p - będzie to połowa sumy miejsc zerowych, czyli:

p=[x₁+x₂]/2

p=[6-2]/2

p=2

Zatem W(p, q)=W(2, 16) - co więcej punkt ten należy do wykresu funkcji.

------------------

2. Współczynnik kierunkowy a:

Należy rozwiązać równanie:

y=a(x-x₁)(x-x₂)

[Podstawiając pod x₁=-2, x₂=6, x=p=2, y=q=16]

16=a(2+2)(2-6)

16=a*4*(-4)

-16a=16

a=-1

Wzór funkcji: y=-(x+2)(x-6)

------------------------------------

Zad 4

y=-7(x-1)²+4 - funkcja zadana w postaci kanonicznej

Analiza:

- parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ a=-7<0

- wierzchołek paraboli W(p, q)=W(1, 4)

-----------------

Rysunek pomocniczy w załączniku.

Jak widać z rysunku (przepraszm za koślawość) wykres funkcji ma z prostą:

a) f(x)=4 - jeden punkt współny (wierzchołek paraboli)

b) f(x)=6 - nie ma miejsc wspólnych

c) f(x)=-8 - dwa miejsca wspólne

-----------------------------------------

Zad 4

Zadanie to jest analogiczne do zadania 3.

f(x)=4(x+3)²+1

f(x)=k

Analiza:

- współczynnik kierynkowy a=4>0, parabola skierowana ramionami w górę,

- wierzchołek W(p, q)=W(-3, 1)

Rozwiązanie:

1) k<q - brak punktów wspólnych

k<1 

2) k=q - jedno miejsce wspólne

k=1

3) k>q - dwa miejsca wspólne

k>1