1. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu rombu o kącie ostrym 60* i boku równym 10cm wokół.... Question from @Radix505

December 2018 1 13 Report

1. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu rombu o kącie ostrym 60* i boku równym 10cm wokół dłuższej przekątnej rombu.

2. Sok wyciśnięty z grapefruita stanowi około 60% jego objętości. Wyciśniętym sokiem zapełniono 6 szklanek o średnicy 6cm i wysokości 10cm. Z co najmniej ilu całych owoców zrobiony był ten sok, jeżeli grapefruity miał średnicę 10cm ?
4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy wynosi 3 $\sqrt{2}$ cm, a krawędź boczna jest równa 6cm. Ile wynosi kąt między krawędzią boczną, a podstawą? Odpowiedź uzasadnij odpowiednimi obliczeniami

unicorn05 1.
Każda z przekątnych (osobno) dzieli romb na dwa jednakowe (przystające) trójkąty.
Boki rombu (10cm) są jednakowe, czyli krótsza przekątna dzieli romb na dwa trójkąty równoramienne.
Suma kątów w trójkącie = 180 stopni, więc trójkąt równoramienny o kącie 60 stopni jest trójkątem równobocznym.
czyli krótsza przekątna rombu jest równa 10.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.
Jeśli obracamy go dookoła dłuższej przekątnej, to otrzymamy dwa jednakowe stożki sklejone podstawami, w których połowa krótszej przekątnej rombu jest promieniem podstawy (r=5), bok rombu jest tworzącą stożka (l=10) a połowa dłuższej przekątnej rombu jest wysokością (h)

Objętość utworzonej bryły to 2 razy objętość stożka:
      $V = 2* (\frac{1}{3} P_p*h)=2*\frac{1}{3} * \pi r^2*h = \frac{2}{3} \pi r^2h$

wysokość policzymy z twierdzenia Pitagorasa:
   $l^2=h^2+r^2 \\ \\ 10^2=h^2+5^2 \\ \\ 100=h^2+25 \\ \\ 75=h^2 \\ \\ h= \sqrt{75}= \sqrt{25*3} \\ \\ h=5 \sqrt{3}cm$

$V = \frac{2}{3} \pi r^2h=\frac{2}{3}* \pi *5^2*5 \sqrt{3} = \frac{250 \pi \sqrt{3}}{3} =83\frac{1}{3} \pi \sqrt{3}cm^3$

2.
x - ilość zużytych owoców

promień szklanki (połowa średnicy): $r_1=3cm$
wysokość szklanki: $h=10cm$
Objętość jednej szklanki (walca):
$V_1=P_p*h= \pi r_1^2h= \pi *3^2*10= \pi *9*10=90 \pi \ cm^3$

promień grapefruita (połowa średnicy):    $r_2=5cm$
objętość grapefruita (kuli) to:
   $V_2= \frac{4}{3} \pi r^3=\frac{4}{3} \pi *5^3=\frac{4}{3} \pi*125=\frac{500}{3} \pi =166\frac{2}{3} \pi \ cm^3$

zawartość soku w grapefruicie to 60% jego objętości, czyli z jednego grapefruita soku otrzymamy:
   $60\%*V_2=60\%*\frac{500}{3} \pi = \frac{6}{10}*\frac{500}{3} \pi = \frac{2}{1}*\frac{50}{1} \pi = 100 \pi cm^3$

Stąd:
   $x*100 \pi=6*90 \pi \\ \\ x*100=360 \ \ \ /:100\\ \\ x=360:100\\ \\x=3,6$

Odp.: na 6 szklanek soku zużyto co najmniej 4 całe grapefuity

3.
Kąt (α) między krawędzią boczną a podstawą, to kąt między krawędzią boczną (b) a przekątną podstawy (d).
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat.
Przekątna kwadratu to: $d=a \sqrt{2} =3 \sqrt{2} * \sqrt{2}=3*2=6cm$

wysokość ostrosłupa (h), krawędź boczna (b=6) i połowa przekątnej podstawy (1/2d=3cm) tworzą trójkąt prostokątny, w którym najkrótszy bok jest połową najdłuższego.
W takim trójkącie kąty są równe: $90^o,\quad 60^o \quad i\ \ 30^o$

Najmniejszy kąt leży zawsze na przeciw najkrótszego boku (czyli w tym wypadku przy wierzchołku ostrosłupa)
Z tego wynika, że $\alpha =60^o$

1 votes Thanks 1