Question

1. Oblicz nie wykonujac potegowania 999^{2} - 998^{2} + 1001^{2} - 1002^{2}

2. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 3^{83}

Answer 1

 

999^2 - 998^2 + 1001^2 - 1002^2 =

= (999 - 998)*( 999 + 998) - [ 1002^2 - 1001^2] =

= 1*1997 - [(1002 - 1001)*(1002 + 1001)] =

= 1997 - [1* 2003] = 1997 - 2003 = - 6

========================================

3^83 = ( 3^4)^20 * 3^3 = 81^20  * 3^3

Ostatnią cyfrą liczby 81^20  jest 1

Ostatnią cyfrą liczby 3^3 jest 7,

zatem ostatnia cyfrą liczby 3^83 jest  1*7 = 7

Odp. 7

==========

Answer 2

1. 

999^{2} - 998^{2} +1001^{2} -1002^{2}

stosujemu tu wzór skróconego mnożenia: a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b): 

 

999^{2} - 998^{2} + 1001^{2} - 1002^{2} =

(999-998)(999+998) +(1001-1002)(1001+1002) =

1 * 1997 + (-1)* 2003 = -6

2.

3^{83} = 3^{3} * (3^{4})^{20} = 3^{3} * 81^{20}

ostatnia cyfrą potęgi  3^{3}  jest 7,

ostatnią cyfrą potęgi  81^{20} jest 1,

więc ostatnią cyfrą liczby 3^{83}  jest 7 *1 = 7

Odp.Ostatnią cyfrą liczby 3^{83} jest 7.