Question

1. Na rysunku obok przedstawiona jest siatka prawidłowego ostrosłupa z naniesionymi wymiarami. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia jego ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

(rysunki w załączniku)

2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest dwa razt dłuższa niż krawędź podstawy. Oblicz miarę:

a)kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

b)kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

c)kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Answer 1

zad1

kraw,podstawy a=2  to ½a=½·2=1

kraw,boczna b=2√2

z pitagorasa

(1/2a)²+h²=b²

1²+h²=(2√2)²

h²=8-1

h=√7 --->wysokosc sciany bocznej

(1/2a)²+H²=h²

1²+H²=(√7)²

H²=7-1

H=√6 --->dl,wysoksoci ostroslupa

tgα=H/½a =√6/1=√6

 

b)

a=6  to ½a=3

b=2√21

wysokosc podstawy hp=(a√3)/2=(6√3)/2=3√3

2/3hp=2/3  ·3√3  =(6√3)/3=2√3

z pitagorasa 

(2√3)²+H²=b²

12+H²=(2√21)²

H²=84-12

H=√72=6√2 --->wysoksoc bryly

 

1/3hp=1/3· 3√3 =√3

tgα=H/⅓hp=6√2 /√3 =(6√6)/3 =2√6 

 

 

zad2

kraw,podstawy=a

wysokosc bryly H=2a

a)

kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

krotsza przekatna podstawy (szesciokat foremny) d=a√3  to ½d=(a√3)/2  

ctgα=½d/H=(a√3/2)/2a=√3/2   ·1/2 =√3/4 ≈0,433 to α≈67°

 

b)kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

dluzsza przekatna pdostawy D=2a  to ½D=a

tgα=H/½D=2a/a =2 to α≈64°

 

c)kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi

 

 dluzsza przekatna D=2a

z pitagorasa

a²+D²=b²

a²+(2a)²=b²

a²+4a²=b²

5a²=b²

b=a√5  --->dl,kraw,bocznej ostroslupa

wysokosc sciany bocznej opuszconej na podstawe =y

 

pole sciany bocznej P=½·a·y

z pitagorasa

y²+(½a)²=b²

y²+¼a²=(a√5)²

y²=5a²-¼a²

y²=4¾a²

y=a√4¾=a√19/2 

P=½·a·y=½·a·(a√19)/2 =(a²√19)/4------->pole sciany bocznej

liczymy wysoksoc h opuszczona na ramie trojkta 

P=½·b·h

(a²√19)/4 =½·a√5 ·h   ·4

a²√19 =2a√5 ·h    /:a

a√19=2√5h

h=a√19/(2√5 )

krotsza przekatna podstawy d=a√3

czyli z tw,cosinusow mamy

d²=h²+h²-2·h·h·cosα 

podstawiamy

(a√3)²=2h²-2h²cosα

3a²=2h²(1-cosα)

3a²=2(19a²/(4·5)  ·(1-cosα)

3a²=(19a²/20) ·(1-cosα)

3a²=19a²/10 ·(1-cosα)

3a²/(19a²/10)=1-cosα

3· 10/19 =1-cosα

30/19 =1-cosα

cosα=1-30/19

cosα =19/19  -30/19

cosα=-11/19 

 

cos²α+sin²α=1

 (-11/19)²+sin²α =1

121/361+sin²α=1

sin²α=1-121/361

sin²α =240/361

sinα=(4√15)/19 ≈ 0,8153  to α≈55°