Question

1. Liczbę 12 możemy przedstawić w postaci iloczynu : 12=2*2*3. Liczba 12 dzieli się przez 1,2,3,2*2,2*3,2*2*3, ma 6 dzielników. Rozłóż na czynniki pierwsze kilka liczb naturalnych. Ile dzielników ma każda z nich ?. Sformułuj wniosek ogólny. 2. Podnieś do kwadratu liczbę dwucyfrową kończącą się cyfrą 5. 15do kwadratu = 225 , 25 do kwadratu= 625 , 35 do kwadratu= 1225 Przyjrzyj sie uważnie liczbom, które otrzymujesz. Postaw hipotezę i uzasadnij ją . A co z liczbami trzycyfrowymi kończącymi się cyfrą 5 oraz z liczbami czterocyfrowymi ? Przeprowadź badania i opisz swoje spostrzeżenia

PROSZĘ O POMOC !

Z GÓRY DZIĘKUJĘ :)

Answer 1

Zad. 1 Ilość dzielników liczby naturalnej

D - zbiór dzielników danej liczby naturalnej

d - ilość dzielników danej liczby naturalnej

 

12 | 2

6 | 2

3 | 3

1

12 = 2 · 3 · 3

D = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

d = 6

 

42| 2

21 | 3

7| 7

1

42 = 2 · 3 · 7

D = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

d = 8

 

75 | 3

25 | 5

5 | 5

1

75 = 3 · 5 · 5

D = {1; 3; 5; 15; 25; 75}

d = 6

 

144 | 2

72 | 2

36| 2

18 | 2

9 | 3

3 | 3

1

144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3

D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}

d = 15

 

Możemy sformułować wniosek:

Aby określić ilość dzielników danej liczby należy rozłożyć tę liczbę na czynniki pierwsze i zapisać za pomocą iloczynu potęg różnych liczb pierwszych. Ilość dzielników bedzie równa iloczynowi wykładników tych potęg powiększonych o 1.

Sprawdźmy:

12 = 2 · 3 · 3 = 2¹ · 3²

wykładniki różnych potęg: 1 i 2

d = (1 + 1) · (2 + 1) = 2 · 3 = 6

 

42 = 2 · 3 · 7 = 2¹ · 3¹ · 7¹

wykładniki różnych potęg: 1, 1 i 1

d = (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 2 · 2 · 2 = 8

 

75 = 3 · 5 · 5 = 3¹ · 5²

wykładniki różnych potęg: 1 i 2

d = (1 + 1) · (2 + 1) = 2 · 3 = 6

 

144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2⁴ · 3²

wykładniki różnych potęg: 4 i 2

d = (4 + 1) · (2 + 1) = 5 · 3 = 15

 

Wniosek ogólny:

Aby określić ilość dzielników danej liczby wyrażonej za pomocą iloczynu potęg rożnych liczb pierwszych należy do wykładników tych potęg dodać 1 i tak powiększone wykładniki pomnożyć przez siebie.

 

 

Zad. 2  Podnoszenie do kwadratu liczb z 5 na końcu

15² = 225

25² = 625

35² = 1225

 

Podnosząć do kwadratu liczbę zakończoną cyfrą 5 mnożymy liczbę stojącą przed cyfrą 5 przez liczbę o 1 większą, zapisujemy wynik mnożenia i dopisujemy 25.

Sprawdźmy:

45² = ?

przed cyfrą 5 jest cyfra 4, możymy tę cyfrę przez cyfrę o 1 większą, czyli 4+1=5, czyli otrzymujemy 4·5 = 20 i do tej liczby dopisujemy na końcu 25, otrzymując 2025

45² = 2025

95² = ?

9 · (9+1) = 9 · 10 = 90

95² = 9025

 

Podobnie można obliczyć kwadraty liczb 3- i 4-cyfrowych:

105² =?

10 · 11 = 110

105² = 11025

2105² = ?

210 · 211 = 44310

2105² = 4431025

Zatem:

Aby podnieść liczbę do kwadratu odrzucamy końcową piątkę, następnie mnożymy powstałą w ten sposób liczbę przez liczbę o jeden większą i do wyniku dopisujemy 25.