1. Lee el siguiente problema
Valentina está elaborando el diseño de su bordado con figuras creativas en especial un pavo real con una amplia variedad de puntadas especialmente en su cola. En la cola colocará puntadas de relleno por filas, si inicia en la primera fila colocando una puntada, en la segunda fila 2, en la tercera fila 4, en la cuarta fila 8. Si sigue con la misma secuencia ¿Cuántas puntadas de relleno debe considerar en la fila 5 y en la fila 6?
2. Representamos con tapas o semillas el número de puntadas por fila que ha pensado colocar Valentina en su diseño.
¿Qué observas?
¿Cómo aumentan las tapas o semillas en cada fila siguiente?
¿La cantidad de tapas o semillas que aumentan de una fila a otra es la misma?
3. Representamos con números la cantidad de puntadas que se colocará en cada fila:
1; 2; 3; 4; 8; ____; _____
• ¿Cuánto aumentó del 1 al 2? ________________________________________
• ¿Cuánto aumentó del 2 al 4? _______________________________________
• ¿Cuánto aumentó del 4 al 8?________________________________________
• ¿Qué regularidad encuentras? ______________________________________
¿La regla de formación de la secuencia es constante?
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¿Podemos decir que se está dando un patrón aditivo?
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Valentina está elaborando el diseño de su bordado con figuras creativas en especial un pavo real con una amplia variedad de puntadas especialmente en su cola. En la cola colocará puntadas de relleno por filas, si inicia en la primera fila colocando una puntada, en la segunda fila 2, en la tercera fila 4, en la cuarta fila 8. Si sigue con la misma secuencia ¿Cuántas puntadas de relleno debe considerar en la fila 5 y en la fila 6?
2. Representamos con tapas o semillas el número de puntadas por fila que ha pensado colocar Valentina en su diseño.
¿Qué observas?
¿Cómo aumentan las tapas o semillas en cada fila siguiente?
¿La cantidad de tapas o semillas que aumentan de una fila a otra es la misma?
3. Representamos con números la cantidad de puntadas que se colocará en cada fila:
1; 2; 3; 4; 8; ____; _____
• ¿Cuánto aumentó del 1 al 2? ________________________________________
• ¿Cuánto aumentó del 2 al 4? _______________________________________
• ¿Cuánto aumentó del 4 al 8?________________________________________
• ¿Qué regularidad encuentras? ______________________________________
¿La regla de formación de la secuencia es constante?
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¿Podemos decir que se está dando un patrón aditivo?
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Valentina, en el diseño de su bordado con figuras creativas que esta elaborando, debe considerar 16 puntadas de relleno en la fila 5 y 32 en la fila 6.
Explicación paso a paso:
El problema de Valentina es una progresión geométrica de razón 2.
1. ¿Cuántas puntadas de relleno debe considerar en la fila 5 y en la fila 6?
La secuencia viene dada por potencias del número 2 iniciando por la potencia cero. Por ello, la cantidad de puntadas en cada fila es la potencia de 2 cuyo exponente es el número de la fila menos 1.
De ser así, las filas 5 y 6 tendrán:
Puntadas en la Fila 5 = 2⁵ ⁻ ¹ = 2⁴ = 16
Puntadas en la Fila 6 = 2⁶ ⁻ ¹ = 2⁵ = 32
Valentina debe considerar 16 puntadas de relleno en la fila 5 y 32 en la fila 6.
2. Representamos con el símbolo ⊕ el número de puntadas por fila que ha pensado colocar Valentina en su diseño.
1 ⊕
2 ⊕⊕
3 ⊕⊕⊕⊕
4 ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
5 ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
6 ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
¿Qué observas?
El patrón no es aditivo, es decir, de una fila a otra el cambio no es fijo.
¿Cómo aumentan los símbolos en cada fila siguiente?
De una fila a otra el número de símbolos se duplica.
¿La cantidad de símbolos que aumentan de una fila a otra es la misma?
No es la misma. De una fila a otra las cantidades se van duplicando. El aumento es mayor de una fila a la siguiente.
3. Representamos con números la cantidad de puntadas que se colocará en cada fila:
1; 2; 4; 8; 16; 32; 64
• ¿Cuánto aumentó del 1 al 2?
De la fila 1 a la fila 2 el número de símbolos aumenta en 1 símbolo.
• ¿Cuánto aumentó del 2 al 4?
De la fila 2 a la fila 4 el número de símbolos aumenta en 6 símbolos.
• ¿Cuánto aumentó del 4 al 8?
De la fila 4 a la fila 8 el número de símbolos aumenta en 120 símbolos.
• ¿Qué regularidad encuentras?
La regularidad o patrón o razón es que el número de símbolos en una fila es el doble del número de símbolos en la fila anterior.
¿La regla de formación de la secuencia es constante?
La regla de formación de la secuencia es constante, ya que el número de símbolos S(n) en la fila n es el número 2 elevado a n - 1.
S(n) = 2ⁿ ⁻ ¹
¿Podemos decir que se está dando un patrón aditivo?
No es un patrón aditivo, es un patrón multiplicativo.
En la quinta fila se hacen un total de 16 puntadas y en la sexta fila un total de 32 puntadas
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.
El termino nesimo de una progresión geometrica es:
an = a1*rⁿ⁻¹
Las puntas por fila siguen una progresión geométrica con a1 = 1 y r = 2 donde queremos determinar a5 y a6:
a5 = 1*2⁵⁻¹ = 2⁴ = 16
a6 = 1*2⁶⁻¹ = 2⁵ = 32
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