Question

1)

Krawędzie podstawy ostrosłupa prawidłowego mają długość 10cm, a krawędzie boczne - 13cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli jego podstawą jest:

a) kwadrat b) trójkąt, c) sześciokąt

2)

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wysokość jest równa 16cm i tworzy :

a) z krawędzią boczną kąt alfa taki, że tg(alfa)= 0,5

b) z wysokością sciany bocznej kąt alfa taki, że cos(alfa) = 0,8

3)

Wysokość ostrosłupa jest równa 15 cm, a obwód jego podstawy wynosi 24cm. Oblicz objetosc tego ostroslupa, jesli jest to ostroslup prawidlowy

a) czworokątny, b) trójkątny, c) sześciokątny

Answer 1

zad1

a=10cm

b=13cm

 

a)kwadrat

Pp=a²=10²=100cm²

1/2a=5

5²+h²=13²

h²=169-25

h=√144=12

Pb=4·½ah=2ah=2·10·12=240cm²

Pc=Pp+Pb=100+240=340cm²

b)trojkt

Pp=(a²√3)/4=(10²√3)/4=(100√3)/4=25√3cm²

h=12

Pb=3·½ah=3·½·10·12=180cm²

Pc=25√3+180=5(5√3+36)cm²

 

c)szesciokat 

Pp=(3·10²√3)/2=(300√3)/2=150√3cm²

h=12

Pb=6·½ah=3ah=3·10·12=360cm²

Pc=150√3+360=30(5√3+12)cm²

 

zad2

 

H=16cm

wysokosc podstawy h=a√3/2 to 2/3h=a√3/3

a)

kat miesci sie miedzy wysokoscia bryly a jego krawedzia boczna

tgα=0,5=1/2

tgα=⅔h/H

1/2=⅔h/16

2·⅔h=16

⁴/₃h=16

h=16 ·3/4=48/4=12

h=a√3/2

12=a√3/2

a√3=24

a=24/√3=8√3

 

 

Pp=[(8√3)²·√3  ]/4 =(192√3)/4=48√3cm³

V=1/3Pp·H=1/3·48√3·16=256√3cm³

 

b)

kat znajduje sie miedzy wysokoscia bryly ,a jego wysokoscia sciany bocznej

cosα=0,8=4/5

kraw.podstawy=a

wysokosc podstawy =h=(a√3)/2  to 1/3h=1/3·(a√3)/2=a√3/6

cosα=H/hb

4/5=16/hb

5·16=4hb

80=4hb  /:4

hb=20cm--->dl,wysokosci sciany bocznej

z pitagorasa

H²+(a√3/6)²=hb²

16²+3a²/36=20²

256+a²/12=400

a²/12=400-256

a²/12=144

a²=12·144

a=√1728=24√3 

Pp=(a²√3)/4=[(24√3)²·√3] /4 =1728√3/4=432√3cm²

V=1/3Pp·H=1/3·432√3 ·16=2304√3 cm³

 

zad3

H=15cm

obwod podstawy O=24cm

 

a)czworokatny

4a=24  /:4

a=6

Pp=6²=36cm²

V=1/3·36·15=180cm³

 

b)trojktny

3a=24  /:3

a=8

Pp=(8²√3)/4=(64√3)/4=16√3cm²

V=1/3·16√3  ·15 =80√3cm³

 

c)szesciokatny

6a=24  /:6

a=4cm

Pp=(3a²√3)/2=(3·4²√3)/2=(48√3)/2=24√3cm²

V=1/3·24√3 ·15=120√3 cm³