Question

1. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz jego objętość, jeżeli:
a) przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 45 stopni
b) kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy ma 60 stopni
c) przekątna graniastosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni.

2. Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego nachylona jest do podstawy pod kątem 45 stopni. Krawędź tego graniastosłupa ma długość 2 cm. Oblicz jego objetość.

Answer 1

Zacznijmy od tego że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie KWADRAT. W zadaniu mamy że krawędź podstawy wynosi 4cm. Zatem pole podstawy:
Pp=4x4=16cm²
Do obliczenia objętość brakuje nam tylko wysokości graniastosłupa.
a)
Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 45*, a to znaczy że ściana boczna składa się z 2 trójkątów równoramiennych prostokątnych... Czyli jest kwadratem o boku 4cm(jedna z krawędzi to krawędź podstawy). Zatem objętość = pole podstawy razy wysokość (4cm):
V=16cm² × 4cm =64cm³
b)Teraz mamy dane że przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy (4cm)kąt 60*. Z funkcji trygonometrycznych wiemy że tg α = h/a (h-nasza wysokość, a-krawędź podstawy)
to :
tg 60*=√3 = h/4
h=4√3 Objętość takiego graniastosłupa wynosi:
V=16cm²×4√3cm =64√3cm³
c)
W tym przypadku również potrzebujemy wysokości graniastosłupa. Teraz mamy dane że przekątna graniastosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30*....To znaczy że tworzy z przekątną podstawy oraz wysokością graniastosłupa Trójkąt prostokątny o jednym z kątów ostrych 30*Obliczmy więc miarę przekątnej podstawy z wzoru na przekątną w kwadracie
d=a√2
d=4√2
Korzystamy z tangensa 30* aby obliczyć wysokość:
tg30*=h/d
tg30*=√3/3
h/4√2=√3/3
3h=4√6
h=4√6/3
V=16cm²×4√6/3cm=64√6/3cm³
Proszę :)