Question

1. Jeżeli do pewnej liczby dwucyfrowej dopisać na początku i na końcu cyfrę 1, to powstała liczba czterocyfrowa będzie 23 razy większa.Wyznacz tę liczbę.
2. Wojtek podzielił pewną liczbę naturalną przez 33 i otrzymał wynik podzielny przez 3. Asia podzieliła tę samą liczbę przez 44 i otrzymała liczbę podzielną przez 4. Podaj przykłady liczby, którą mogli dzielić. Jaka jest najmniejsza liczba dodatnia o tej własności?
3. W ciągu dwóch lat wiek czterech członków pewnej rodziny wzrósł odpowiednio o 4%, 5%, 10% i 20%. O ile procent wzrosła średnia wieku tych czterech osób?
Proszę o dobre odpowiedzi i opis rozwiązania. ;]

Answer 1

Liczba początkowa składa się z 2 cyfr:
a - liczba jedności
b - liczba dziesiątek
Liczbę dwucyfrową przedstawiamy jako sumę tych dwóch cyfr. Ale jednak nie jest tak fanie (a + b). Prosty przykład:
a - 2
b - 5
Ich suma wynosi, jak to można wyliczyć = 8. A z tego co wiem, to raczej nie jest liczba dwu-cyfrowa.

Dlatego posłużymy się małych chwytem i pomnożymy cyfrę dziesiątek przez 10. Dlaczego?
Przykładzik:
Rozłóżmy na "części pierwsze" liczbę 24:
Jest to suma 2 liczb: 20 oraz 4. Jak można łatwo zauważyć, liczbę 20 można zapisać w postaci 2 x 10. Na podstawie tego przykładu widzimy, że liczba 4 jest liczbą jedności, także jest ona jak sama nazwa wskazuje - jedna. Cyfrą dziesiątek jest 2. Jednak jak widać, aby złożyć je obydwie w liczbę dwu cyfrową, musimy wiedzieć, która jest dziesiątkami, w tym przypadku to 2, czyli 2 x 10. Proste.

Powracając... nasza liczba dwu cyfrowa będzie miała postać:
a + 10b
Jej wartości nie znamy, ale wiemy w jakim przedziale się mieści:
<10;99>
W zadaniu, mamy także dodatkową informację, że po dodaniu przed i za nią cyfry 1, będzie ona większa od pierwotnej o 23 razy.
W tym momencie, nasza liczba będzie w postaci:
1ba1
Jednak tutaj, widzimy już liczbę 4-ro cyfrową.
Przypatrzmy się jej od końca, czyli od strony jedności.
Widzimy cyfrę 1, która to teraz stoi na miejscu jedności.
Dalej widzimy naszą daną "a", która to wcześniej była na miejscu jedności. Jednak tutaj, znajduje się na pozycji dziesiątek. Jej wartość musimy pomnożyć przez 10, tak jak wcześniej z liczbą "b".
Kolejną liczbą jest "b". Stoi na 3 miejscu od strony jedności. Krótko mówiąc, stoi na miejscu setek. Jej wartość mnożymy przez 100.
Na samym końcu jest 1, stoi na miejscu tysięcy, także mnożymy ją przez 1000.
Po tym rozwinięciu, możemy zapisać ją w postaci sumy:
1 + 10a + 100b + 1000
Po wyliczeniu mamy postać:
10a + 100b + 1001

Z treści zadania wynika także, że końcowa liczba jest 23 razy większa od pierwotnej lub jak kto woli, pierwotna jest 23 razy mniejsza od końcowej. Te fakt wykorzystujemy, aby przyrównać do siebie wyznaczone liczby:
23 x (a + 10b) = 10a + 100b + 1001
Kolejne etapy przeliczeń:
23a + 230b = 10a + 100b + 1001
23a + 230b - 10a - 100b = 1001
13a + 130b = 1001
13a + 130b = 1001 (dzielenie obustronne) //13
a + 10b = 77
a = 77 - 10b
Mając już jedną niewiadomą a, możemy ją podstawić do wzoru na pierwszą liczbę:
77 - 10b + 10b = 77
Nasza pierwotna liczba to 77.
Po dopisaniu dwóch jedynej mamy:
1771
Liczba ta, jest jak najbardziej podzielna na 23.
* Można także zapisać:
77 x 23 = 1771

Jak na razie to tyle. W razie problemów, piszcie na 9921560
Pozdrawiam