Question

1. Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o 3 od niej większej jest rowny 324. Wyznacz te liczby. 2. Iloczyn trzech liczb całkowitych, z ktorych druga jest o 3 wieksza od pierwszej a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest rowny -30. Wyznacz te liczby. 3. Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest rowny 192. Jakie to liczby? BARDZO PROSZĘ O SZYBKIE ROZWIĄZANIE! :)

Answer 1

Zad. 1.

x - pewna liczba

x + 3 - liczba o 3 większa od liczby x

 

x² · (x + 3)² = 324

x² · (x² + 6x + 9) = 324

x⁴ + 6x³ + 9x² - 324 = 0

 

-------------------------------------

W(x) = x⁴ + 6x³ + 9x² - 324

D₋₃₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 324, -1, -2, -3, -4, -6, -9, -12, -18, -27, -36, -54, -81, -108, -162, -324}

W(3) = 3⁴ + 6·3³ + 9·3² - 324 = 81 + 162 + 81 - 324 = 0, zatem liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

 

(x⁴ + 6x³ + 9x² - 324) : (x - 3) = x³ + 9x² +36x + 108

-x⁴+3x³

---------

     +9x³ + 9x² -324

     -9x³ + 27x²

     --------------

             +36x² - 324

             -36x² + 108x

            ------------------

                     +108x - 324

                     - 108x +324

                   ------------------

                     R = 0

 

x⁴ + 6x³ + 9x² - 324 = (x - 3)(x³ + 9x² +36x + 108)

 

 

P(x) = x³ + 9x² +36x + 108

D₁₀₈ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108, -1, -2, -3, -4, -6, -9, -12, -18, -27, -36, -54, -108}

P(- 6) = (-6)³ + 9·(-6)² +36·(-6) + 108 = -216 + 324 - 216 + 108 = 0, zatem liczba - 6 jest pierwiastkiem wielomianu P(x)

 

(x³ + 9x² +36x + 108) : (x + 6) = x² + 3x + 18

-x³ - 6x²

----------

      +3x² + 36x + 108

      - 3x² - 18x

     -----------------------

               + 18x + 108

               - 18x - 108

              ----------------

               R = 0

 

x³ + 9x² +36x + 108 = (x + 6)(x² + 3x + 18)

 

Zatem:

x⁴ + 6x³ + 9x² - 324 = (x - 3)(x³ + 9x² +36x + 108) = (x - 3)(x + 6)(x² + 3x + 18)

-------------------------------------

 

x⁴ + 6x³ + 9x² - 324 = 0

(x - 3)(x + 6)(x² + 3x + 18) = 0

x - 3 = 0 lub x + 6 = 0 lub x² + 3x + 18 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3

 

x + 6 = 0

x = - 6

 

x² + 3x + 18 = 0

Δ = 3² - 4·1·18 = 9 - 72 = - 63 < 0, czyli równanie nie ma rozwiązań

 

Zatem:

x = 3 i x = - 6

 

x = 3  ⇒ x + 3 = 6 i 3² · 6² = 9 · 36 = 324

x = - 6 ⇒ x + 3 = - 3 i (-6)² · (- 3)² = 36 · 9 = 324

 

Odp. Szukane liczby to: 3 i 6 oraz - 6 i - 3.

 

 

Zad. 2.

c - liczba całkowita

c + 3 - liczba o 3 większa od c

c + 3 - 1 = c + 2 - liczba o 1 mniejsza od c + 3

 

c · (c + 3) · (c + 2) = - 30

(c² + 3c)(c + 2) = - 30

c³ + 2c² + 3c² + 6c + 30 = 0

c³ + 5c² + 6c + 30 = 0

c² · (c + 5) + 6 (c + 5) = 0

(c + 5)(c² + 6) = 0

c + 5 = 0 lub c² + 6 = 0

 

c + 5 = 0

c = - 5

 

c² + 6 = 0

c² = - 6

sprzeczność, czyli równanie nie ma rozwiązań

 

Zatem: c = - 5

 

c = - 5 ⇒ c + 3 = - 2, c + 2 = - 3 i - 5 · (- 2) · (- 3) = - 30

 

Odp. Szukane liczby to - 5, - 2 i - 3.

 

 

Zad. 3

n - liczba naturalna

2n - parzysta liczba naturalna

 

2n · (2n + 2) · (2n + 4) = 192

(4n² + 4n)(2n + 4) = 192

8n³ + 16n² + 8n² + 16n - 192 = 0

8n³ + 24n² +16n - 192 = 0 /:8

n³ + 3n² + 2n - 24 = 0

 

-------------------------------------

W(n) = n³ + 3n² + 2n - 24

D-₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24}

W(2) = 2³ + 3·2² + 2·2 - 24 = 8 + 12 + 4 - 24 = 0, zatem liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(n)

 

(n³ + 3n² + 2n - 24) : (n - 2) = n² + 5n + 12

-n³ + 2n²

-----------

      + 5n² + 2n - 24

      - 5n² + 10n

     ---------------------

                + 12n - 24

                - 12n  + 24

               ---------------

                 R = 0

 

n³ + 3n² + 2n - 24 = (n - 2)(n² + 5n + 12)

-------------------------------------

 

n³ + 3n² + 2n - 24 = 0

(n - 2)(n² + 5n + 12) = 0

n - 2 = 0 lub n² + 5n + 12 = 0

 

n - 2 = 0

n = 2

 

n² + 5n + 12 = 0

Δ = 5² - 4·1·12 = 25 - 48 = - 23 < 0, czyli równanie nie ma rozwiązań

 

Zatem: n = 2 ∈ N

 

n = 2 ⇒ 2n = 4, 2n + 2 = 6, 2n + 4 = 8 i 4 · 6 · 8 = 192

 

Odp. Szukane liczby to: 4, 6 i 8.