Question

1. Ile wynosi kąt między prostymi 3x-y+12=0 i x+3y+5=0 ? 2. Ile wynosi odległość prostych o równaniach y=3x+2 i y=3x ? 3. Odcinek złożony z punktów o współrzędnych (4-2t;2-t) dla t

Answer 1

1. Ile wynosi kąt między prostymi 3x-y+12=0 i x+3y+5=0 ?

ogólne równanie prostej ma wzór: Ax+By+C=0

współczynnik kierunkowy a tej prostej wynosi -A/B

a=-A/B

współczynnik kierunkowy a₁ prostej3x-y+12=0 wynosi:

a₁=-3/-1=3

współczynnik kierunkowy a₂ prostej x+3y+5=0 wynosi:

a₂=-1/3

Proste są prostopadłe, ponieważ a₁·a₂=-1. Zatem kąt między tymi prostymi wynosi 90°.

2. Ile wynosi odległość prostych o równaniach y=3x+2 i y=3x ?

Odległość prostych równoległych wyrażona jest wzorem:

Liczymy zatem d:

3. Odcinek złożony z punktów o współrzędnych (4-2t; 2-t) dla t należącego od 0 (p. domknięty) do 1 (p. otwarty)
a) leży wewnątrz okręgu (x-4)^2 + (y-2)^2 = 4
b) leży na zewnątrz tego okręgu
c) przecina ten okrąg
d) jest styczny do tego okręgu

dla t∈<0;1) policzmy końce naszego odcinka:

(4-2·0,2-0)=(4,2)

(4-2·1,2-1)=(2,1)

Przy czym punkt (4,2) należy do odcinka, a punkt (2,1) nie należy, ale wyznacza koniec odcinka.

Z równania okręgu znajdujemy środek S okręgu i jego promień r:

S=(4,2) i r=2

Zatem środek okręgu jest jednym z końców naszego odcinka, co oznacza, że odcinek nie jest styczny do okręgu ani nie leży na zewnątrz okręgu.

Policzmy długość odcinka. Jeśli jest dłuższy niż promień oznacza to że przecina okrąg.

d=√((4-2)²+(2-1)²)

d=√(4+1)

d=√5>r

zatem dany odcinek przecina okrąg.