Question

1. Ile pierwiastków ma równanie

2. Ile wymiernych pierwiastków ma równanie

3. Podaj liczbę całkowitych rozwiązań równania

4. Rozwiąż nierówność

5. Wyznacz k, jeśli 2 jest pierwiastkiem równania Drut o długości 1metra przecięto na dwa kawałki i wygięto dwie okrągłe ramki. Jaka najmniejsza może być suma kół ograniczonych ramkami? Skrajne wyrazy proporcji, to 10 i 84, a środkowe różnią się o 2. Wyznacz je.

POMOCY!!! Mam z tego spr w pon, a nic nie rozumiem :(

Answer 1

z.1

- x^3 + 5 x^2 + 1 = x - 4

x^3 - 5 x^2 + x - 5 = 0

x^2*( x - 5) + 1*(x - 5) = 0

(x -5)*( x^2 + 1) = 0

x - 5 = 0, bo  x^2 + 1 > 0  dla dowolnej liczby rzeczywistej x

x = 5

=====

Równanie ma jeden pierwiastek: x = 5

------------------------------------------------------------------------

z.2

x^5 + 2 x = 3 x^3

x^5 - 3 x^3 + 2 x = 0

x*( x^4 - 3 x^2 + 2) = 0

x*(x^2 - 1) * ( x^2 - 2) = 0

x*(x -1)*(x + 1)*( x - p(2))*(x + p(2)) = 0

x = 0 lub  x - 1 = 0  lub  x + 1 = 0  lub  x - p(2) = 0  lub  x + p(2) = 0

x = 0  lub x = 1   lub  x = -1  - pierwiastki wymierne  ( jest  ich  3 )

========================================================

oraz

x = p(2)  lub  x = - p(2)  - pierwiastki niewymierne

-------------------------------------------------------------------------------------------

z.3

x^3 - 8 = 8*(x - 1)

x^3 - 8 = 8 x - 8

x^3 - 8 x = 0

x*( x^2 - 8) = 0

x*( x - 2p(2))*(x + 2 p(2)) = 0

x = 0   - pierwiastek całkowity

===============================

x = 2 p(2) ;  x = - 2 p(2)  - pierwiastki niewymierne

---------------------------------------------------------------------------

p(8) = p(4*2) = p(4)*p(2) = 2 p(2)

-----------------------------------------------------------------------------------------

z.4

( x^2 - 2)*(x^2 - 20) > = 0

p(20) = p(4*5) = p(4)*p(5) =2 p(5)

zatem mamy

(x -p(2))*(x + p(2))*( x - 2 p(5))*( x + 2 p(5)) > = 0

Równość zachodzi dla:

x = p(2) lub  x = - p(2)  lub  x = 2 p(5)  lub x = - 2 p(5)

-2 p(5) = około ( - 4.47) , zatem  

- 5 < - 2 p(5)

Badam znak niewrówności  dla  x = - 5

[ (-5)^2 - 2]*[ (-5)^2 - 20] = (25 -2)*(25 - 20) = 23*5 > 0

zatem

(x^2 - 2)*(x^2 - 20 ) > = 0  dla x należycego do ( - oo; - 2 p(5)> u < - p(2); p(2) > u

u < 2 p(5); + oo )

=======================================

z.5

Liczba  2 jest pierwiastkiem równania

x^3 - k x^2 + 2 p(3) = 8 + p(12) - 2 x

p(12) = p(4*3) = p(4)*p(3) = 2 p(3)

zatem mamy

x^3 - k x^2 + 2 p(3) - 8 - 2 p(3) + 2x = 0

x^3 - k x^2 + 2 x - 8  = 0

Liczba 2 jest pierwiastkiem powyższego równania, zatem

2^3 - k* 2^2 + 2*2 - 8 = 0

8 - 4 k + 4 - 8 = 0

4 k = 4

k = 1

========

z.6

x  - długość jednego kawałka drutu

1 - x   - długość  drugiego kawałka drutu,bo x + ( 1 - x) = 1

Te kawałkizwijamy w  dwa okręgi o promieniach r1  i  r2

Mamy

2 pi r1 = x     oraz  2 pi r2 = 1 - x

Stąd

r1 = x / (2 pi)    oraz   r2 = ( 1 - x) / ( 2 pi)

Obliczamy pola kół ograniczonych tymi okręgami

P1 = pi * (r1)^2 = pi *[ x / (2 pi)]^2 = x^2 /( 4 pi )

P2 = pi *( r2)^2 = pi*[ (1 -x)/ (2 pi)]^2 = ( 1 - 2x + x^2)/( 4 pi )

Pole obu kół jest równe:

P = P1 + P2 = x^2 / ( 4 pi) + ( 1 - 2x + x^2) /( 4 pi)

czyli

P( x) = ( 2 x^2 - 2 x + 1) / ( 4 pi)

P( x) jest najmniejsze wtedy , gdy licznik jest najmniejszy, bo mianownik nie

zależy od x.

Mamy L(x) = 2 x^2 - 2 x + 1

Jest to funkcja kwadratowa.

Ponieważ  a = 2 > 0  więc ta funkcja posiada najmniejszą wartość dla x = p

czyli dla  p = - b/(2a) = 2 /4 = 1/2

x = 1/2

Oznacza to, że pole ograniczone tymi ramkami jest najmniejsze , gdy dryt

pocieto na kawałki równe  1/2.

Wtedy

r1 = r2 = (1/2) / ( 2 pi) = 1 / (4 pi)

P = 2 P1 = 2 * pi (r1)^2 = 2 * pi *[  1/(4 pi)]^2 = 2 *pi* [ 1 /(16 pi^2)] = 1 / (8 pi )

P = 1 /( 8 pi )

============