Question

1. Funkcja f określona jest wzorem f(x)=-

a) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f

b) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są mniejsze od wartyości funkcji g jeśli g(x)=2x-2

2.Wyznacz wzór ogólny funkcji kwadratowej f(x)=a,

wiedząć, że zbiorem nierówności f(x)>1 jest przedział (-1;3), a największa wartość funkcji jest równa 4

Answer 1

a)

f(x)=-0,5x²+2x

Najprościej (tak obrazowo) to, jeśli oczywiście wiemy, jak wygląda funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy najwyższej potędze ( w naszym przypadku a<0 a więc ramiona paraboli idą w dół <parabola smuci się> a gdy mamy a>0 to ramiona idą w góre <parabola uśmiecha się>) a naturalnym punktem zmiany monotoniczności, mówiąc ściślej punktem przegięcia funkcji jest rzędna współrzedna wierzchołka funckji a więc:

p=-b/2a=2

i teraz mając w wyobraźni obraz owej paraboli śmiało możemy napisać:

funkcja jest malejąca w x∈(2;∞)

funkcja jest rosnąca w x∈(-∞,2)

oczywiście w x=2 mamy ekstremum w tym wypadku maksimum.

b) zapiszmy ogólnie:

f(x)<g(x)

podstawiamy obie funkcje do wyżej napisanej nierówności:

-0,5x²+2x<2x-2

-0,5x²+2<0 /*(-2)

x²-4<0

(x-2)(x+2)=0

X=2 v x=-2

rysujemy ową parabole i odczytujemy przedziały w których przyjmuje ona wartości ujemne a więc:

x∈(-∞;-2)U(2;∞)

2. Co wiemy:

"największa wartość funkcji jest równa 4" a więc:

mamy max=4 czyli współrzedna wierzchołka odcięta równa się cztery więc:

q=4

q=-Δ/4a

4=-Δ/4a

-16a=Δ

dalej wiemy że:

ax²+bx+c>1

możemy to swobodnie przyrównać:

ax²+bx+c=1

rozwiązaniem tego równania muszą być x=-1 i x=3 (wiemy to z przedziału)

a wiec przechodząc na postać iloczynową funkcji kwadratowej mamy:

a(x+1)(x-3)=1

jeśli wymnożymy i uporządkujemy powyższe równanie otrzymamy:

ax²-2ax-(3a+1)=0

liczymy delte:

Δ=16a²+4a

wiemy też że:

-16a=Δ

podstawiamy:

-16a=16a²+4a

16a²+20a=0

16a(a+1.25)=0

a więc:

a=0 v a=-1,25

i teraz tak: otrzymaliśmy dwa wyniki, który jest dobry? a=-1.25, dlaczego? po pierwsze żeby było ekstremum musi być funkcja conajmniej drugiego stopnia a więc a≠0! po drugie jeśli ma mieć maksimum to musi wyjść ujemny współczynnik a, no i tak wyszło.. mam nadzieje że wszystko jest jasne.