Question

1) Dla jakiej wartości parametru k liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w?
w(x)=x⁵+3x²-6x+k a=0

2) Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej l i paraboli będącej wykresem funkcji f.
l:y=1-6x f(x)=-6x²+7x+6

Proszę też o obliczenia.

Answer 1

Ad 1)
liczba 0 jest pierwiastkiem wielomianu x^5 + 3*x^2 - 6*x + k
<=>
dla x=0 wielomian przyjmuje wartość 0
<=>
0^5 + 3*0^2 - 6*0 + k = 0
<=>
0 + 0 - 0 + k = 0
<=>
k = 0

Zatem wielomian ma pierwiastek a=0 dla współczynnika k równego 0.


ad 2)
Punkty wspólne są tam, gdzie wyrażenia są równe.
-6*x^2+7*x+6 = 1-6*x
<=>
-6*x^2+7*x+6-1+6*x = 0
<=>
-6*x^2 + 13*x + 5 = 0
<=>
...liczymy deltę: D = 13^2 - 4 * (-6) * 5 = 169 + 120 = 289
.. pierwiastek z delty PD = 17
<=>
x = ( -13-17 ) / (-12) = 30/12 = 5/2
lub
x = ( -13+17 ) / (-12) = -4/12 = -1/3

mamy współrzędne punktów, teraz sprawdzenie:

l(5/2) = 1-30/2 = 1-15 = -14
l(-1/3) = 1 + 6/3 = 3

f(2/5) = -6*25/4 +35/2 +6 = (-75+35+12)/2 = -28/2 = -14
f(-1/3)= -6*1/9 -7/3 +6 = (-2-7+18)/3 = 9/3 = 3

Zatem wspólne punkty to (-1/3,3) i (5/2,-14).