Question

1. Dla jakich wartości parametru m (m nalężący do R) suma odwrotności pierwiastków równania x²-(m+2)x+4=0 jest większa od (-1,5) ?

2. Rozwiąż równanie:

|x²-4|-|9-x²|=5

Answer 1

1) Suma odwrotności pierwiastków równania: (sprowadzamy do wspólnego mianownika, wtedy u góry i na dole będą wzory Viete'a)

1/x₁ + 1/x₂ = x₁ + x₂/x₁x₂

 

Warunki:

Δ > 0 - 2 różne pierwiastki

x₁ + x₂ / x₁x₂ > -1,5

 

Δ = [ -(m + 2)]² - 4 · 1 · 4 = (m + 2)² - 16 = m² + 4m + 4 - 16 = m² + 4m - 12

 

m² + 4m - 12 > 0

 

Δ' = 16 - 4 · 1 · (-12) = 16 + 48 = 64 , √Δ'  = 8

 

m₁ = , m₂ =

 

m ∈ ( - ∞ , - 6) (2 , + ∞)

 

x₁ + x₂ = m + 2

x₁ · x₂ = 4

 

 

m ∈ (4 , + ∞)

 

Zapisuje oba przedziały i szukam części wspólnej, to będzie odpowiedź do zadania:

 

m ∈ ( - ∞ , - 6) (2 , + ∞)

m ∈ (4 , + ∞)

 

Odp. m ∈ (4, + ∞)

 

 

2) |x² - 4| - |9 - x²| = 5

Obie wartości rozpisujemy z definicji:

 

|x² - 4| = x² - 4 dla x² - 4 ≥ 0 , tzn. x ∈ ( - ∞, - 2> u <2, + ∞)

- (x² - 4) dla x² - 4 < 0, tzn. x ∈ (- 2, 2)

 

|9 - x²| = |x² - 9|

|x² - 9| = x² - 9 dla x² - 9 ≥ 0, tzn. x ∈ ( - ∞, - 3> u <3, + ∞)

- (x² - 9) dla x² - 9 < 0, tzn. x ∈ (- 3, 3)

 

Teraz opuszczamy wartość na 4 sposoby :)

 

x² - 4 - x² + 9 = 5 (gdy oba wyrażenia w wartościach będą dodatnie)

lub

-(x² - 4) + x² - 9 = 5 (gdy oba będą ujemne)

lub

x² - 4 + x² - 9 = 5 (gdy 1 dodatnie, drugie ujemne)

lub

-(x² - 4) - x² + 9 = 5 (gdy 1 ujemne, 2 dodatnie)

 

x² - 4 - x² + 9 = 5

5 = 5, x ∈ R

 

-(x² - 4) + x² - 9 = 5

-x² + 4 + x² - 9 = 5

- 5 = 5, x ∈ zbiór pusty

 

x² - 4 + x² - 9 = 5

2x² = 18

x² = 9

x = 3, -3

 

-(x² - 4) - x² + 9 = 5

-x² + 4 - x² + 9 = 5

-2x² = -8

x² = 4

x = 2, -2