1. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie układu równańjest parą liczb o różnych znakach? Z wyt.... Question from @Rodeway

December 2018 1 53 Report

1. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie układu równań
$\left \{ {{(a+2)x+(a+4)y=a+3} \atop {(a-4)x+(a-1)y=a-3}} \right.$
jest parą liczb o różnych znakach?
Z wytłumaczeniem to zadanie.
2. Wykonaj działanie na wyrażeniach podanych w zadaniu przestrzegając kolejności działań.
a) $( \frac{5}{a^2-2a-ax+2x} - \frac{1}{8-8a+2a^2} * \frac{20-10a}{x-2} ): \frac{25}{x^3-8}$

Paawełek Pierwsze równanie mnożę przez (-1) i dodaję metodą przeciwnych współczynników:

$+\begin{cases} (-a-2)x+(-a-4)y=-a-3 \\ (a-4)x+(a-1)y=a-3\end{cases} \\ -6x-5y=-6 \qquad /\cdot (-1) \\ 6x+5y=6 \\ 6x=6-5y \qquad /:6 \\ x=\frac{6-5y}{6} \\ \hbox{Podstawiam te zaleznosc do gornego rownania:} \\ (a+2) \cdot \frac{6-5y}{6}+(a+4)y=a+3 \qquad /\cdot 6 \\ (a+2)(6-5y)+6(a+4)y=6(a+3) \\ 6a-5ay+12-10y+6ay+24y=6a+18 \\ ay+14y+6a+12=6a+18 \\ ay+14y=6 \\ y(a+14)=6 \qquad /:(a+14) \\ \boxed{y=\frac{6}{a+14}}$

Wyznaczam x:
$x=\frac{6-5y}{6}=\frac{6-\frac{30}{a+14}}{6}=\frac{\frac{6(a+14)-30}{a+14}}{6}=\frac{6a+84-30}{6(a+14)}=\frac{6a+54}{6(a+14)}=\boxed{\frac{a+9}{a+14}}}$

Teraz to ma być przeciwnych znakach zatem
xy < 0
Czyli:
$\frac{6}{a+14} \cdot \frac{a+9}{a+14} <0 \qquad a \neq -14 \\ \frac{6(a+9)}{(a+14)^2} <0 \qquad /\cdot (a+14)^2 \\ 6(a+9)<0 \qquad /:6 \\ a+9<0 \\ a<-9 \\ \boxed{a \in (-\infty, -9) \setminus \{-14\}}$
I to jest odpowiedź.

W drugim. Zauważ, że:
$a^2-2a-ax+2x=a(a-2)-x(a-2)=(a-x)(a-2) \\ \\ 8-8a+2a^2=2(a^2-4a+4)=2(a-2)^2 \\ \\ \hbox{Licze pierw tylko wyrazenie w nawiasie. Otrzymam:} \\ \frac{5}{(a-x)(a-2)} - \frac{1}{2(a-2)^2} \cdot \frac{10(2-a)}{x-2}= \frac{5}{(a-x)(a-2)} - \frac{1}{2(a-2)^2} \cdot \frac{-10(a-2)}{x-2}= \\ = \frac{5}{(a-x)(a-2)}+\frac{10(a-2)}{2(a-2)^2(x-2)}=\frac{5}{(a-x)(a-2)}+\frac{10}{2(a-2)(x-2)}=$
$=\frac{5}{(a-x)(a-2)}+\frac{5}{(a-2)(x-2)}= \frac{5(x-2)}{(x-2)(a-x)(a-2)}+ \frac{5(a-x)}{(x-2)(a-x)(a-2)}= \\ = \frac{5x-10+5a-5x}{(x-2)(a-x)(a-2)}= \frac{-10+5a}{(x-2)(a-x)(a-2)}=\frac{5(a-2)}{(x-2)(a-x)(a-2)}=\frac{5}{(x-2)(a-x)}$

I teraz to wyrażenie dzielę sobie przez to poza nawiasem:
$\frac{5}{(x-2)(a-x)} : \frac{25}{x^3-8} = \frac{5}{(x-2)(a-x)} \cdot \frac{x^3-8}{25}= \frac{5(x-2)(x^2+2x+4)}{25(x-2)(a-x)}= \boxed{\frac{x^2+2x+4}{5(a-x)}}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jak już wspomniałem: z pierwszych dwóch składników wykładasz "a" przed nawias. Z kolejnych "-x" przed nawias. Mamy:
$a^2-2a-ax+2x= \underbrace{a^2-2a}_{a(a-2)} \underbrace{-}_{-} \underbrace{ax+2x}_{x(a-2)} = a(a-2)-x(a-2)= \\ = a\boxed{(a-2)}-x\boxed{(a-2)}$
Wykładasz przed nawias to co jest w ramkach - wspólny czynnik czyli (a-2)
przed pierwszym (a-2) stoi "a" a przed drugim "-x"
więc odejmujesz od a tych (a-2) odejmujesz x tych (a-2)
I powstaje Ci działanie a-x, które nie jest w ramce
I stąd ostatecznie masz (a-x)(a-2) :)

2 votes Thanks 1