Question

1. Dany jest trójkąt równoboczny o boku 5 cm. O ile centymetrów należy wydłużyć boki trójkąta, aby jego pole zwiększyło się co najwyżej o 6√3 cm²?

2. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 15. Różnica kwadratu tej liczby i kwadratu liczby powstałej z niej po przestawieniu cyfr jest równa 1485. Co to za liczba?

Answer 1

z.1

Korzystamy z wzoru na pole trójkąta równobocznego

P = a p(3)/4

=============

a = 5 cm  - długość boków trójkąta równobocznego

x  > 0

a1 = ( 5 + x) cm

P1 - P = 6 p(3)

( 5 +x)^2  *p(3)/4  - 5^2 *p(3)/4  = 6 p(3)    / * [  4/ p(3)]

( 5 + x)^2 - 5^2 = 24

25 + 10x + x^2 - 25 - 24 = 0

x^2 + 10 x - 24 = 0

===================

delta = 10^2 - 4*1*(-24) = 100 + 96 = 196

p ( delty ) = p (195 ) = 14

x  = [ -10 - 14]/2 =  - 24/2 = - 12 < 0   - odpada

lub

x = [ -10 + 14]/2 = 4/2 = 2

=======================

Odp. Boki trójkąta można wydłużyć o co najwyżej  2  cm.

======================================================

z.2

x  - cyfra dziesiątek

y - cyfra jedności

10 x  + y   - liczba dwucyfrowa

10 y + x   - liczba dwucyfrowa o przestawionych cyfrach

Mamy

x + y = 15    --> y = 15 - x

( 10x + y)^2 - ( 10 y  + x)^2 = 1 485

-----------------------------------------------

100 x^2 + 20xy + y^2 - ( 100 y^2 + 20yx + x^2) = 1 485

99 x^2 - 99 y^2 = 1 485  / : 99

x^2 - y^2 = 15

x^2 - ( 15 - x)^2 = 15

x^2 - ( 225 - 30 x + x^2) = 15

30 x - 225 = 15

30 x = 240 / : 30

x = 8

====

y = 15 - 8 = 7

=============

Odp. Tą liczba jest liczba  87.

===================================