Question

1) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o polu podstawy 64 i wysokości 10.
a) Oblicz długość przekątnej podstawy tego ostrosłupa
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa
2) Pewien ostrosłup ma 50 wierzchołków. Ile ma zatem krawędzi ?
3) Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego są równe 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa
4) Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6 cm i jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
5) Oblicz długość przekątnej sześcianu o objętości 64 cm sześcienne
6) Przekątna prostopadłościanu o długości 6 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Podstawa ma wymiary 2 i 3. Oblicz miarę kąta alfa.
7) Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość 1. Oblicz objętość ostrosłupa
8) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni, a wysokość bryły jest równa 4 cm.

Answer 1

1)
Pp=64
H=10
Pp=a²
64=a²
a=√64=8 --->kraw,podstawy
a)przekatna podstawy d=a√2=8√2
b)
V=1/3Pp·h=1/3·64·10=640/3  [j³]

zad2
ostroslupa ma 50 wierzcholkowa zatem 
(n+1)to wierzcholki
50=n+1
51-1=n
to liczba krawedzi wynosi 
2n =2·49=98 

zad3
a=2
b=a
z pitagorasa
(1/2a)²+h²=2²
1²+h²=2²
h²=4-1
h=√3 
Pb=6·1/2ah=3ah=3·2·√3=6√3  j²
Pp=6a²√3/4=3a²√3/2=3·2²√3/2=3·4√3/2=6√3  j²
Pc=2Pp+Pb=2·6√3+6√3=12√3+6√3=18√3  j²

zad4

przekatna sciany bocznej d=6cm
z wlasnosci kata 60stopni wynika ze
2a=d
2a=6  /;2
a=3 cm --->kraw.podstawy
a√3=3√3 cm=h --->wysokosc bryly
Pp=a²√3/4=3²√3/4=9√3/4 cm²
Pb=3ah=3·3·3√3=27√3 cm²
Pc=2Pp+Pb=2·9√3/4+27√3=9√3/2+27√3 =4¹/₂√3+27√3=31¹/₂√3 cm² 
V=Pp·h=9√3/4·3√3=27√9/4=81/4 =20,25 cm³

zad5
V=64cm³
a³=64
a=∛64=4 cm
to przekatna szecianu d=a√3=4√3 cm
zad6
a=2
b=3
2²+3²=d²
4+9=d²
d=√13 --->przekatna podstawy
D=6
cosα=d/D=√13/6≈0,6009 to α=53 stopnie

zad7
a=1
b=1
przekatna podstawy d=a√2=1√2=√2 to 1/2d=a√2/2=√2/2
(√2/2)²+H²=b²
2/4+H²=1²
1/2+H²=1
H²=1-1/2
H=√(1/2)=√2/2  --->wysokosc ostroslupa
V=1/3Pp·H=1/3·1²·√2/2=√2/6  [j³]

zad8
H=4cm
kraw.podstawy =a
wysokosc podstawy h=a√3/2  to 2/3h=a√3/3
z wlasnosci kata ostrego 45stopni wynika zaleznosc
H=2/3h 
czyli 2/3h=4 cm
i H√2=b
b=4√2 cm--->kraw.boczna
a√3/3=4
a√3=12
a=12/√3=12√3/3=4√3 cm 
Pp=a²√3/4=(4√3)²·√3/4=48√3/4=12√3 cm²
z pitagorasa
(1/2a)²+hs²=b²
(2√3)²+hs²=(4√2)
12+hs²=32
hs²=32-12
hs=√20=2√5 cm --->wysokosc scany bocznej
Pb=3·1/2·a·hs=3/2·4√3·2√5=12√15 cm²
Pc=Pp+Pb=12√3+12√15=12(√3+√15)cm²
V=1/3Pp·H=1/3·12√3·4=16√3 cm³