1. Dany jest ciąg określony wzorem , dla oblicz i . 2. Pierwszy wyraz ciągu jest równy . Wykres .... Question from @yayusha

November 2018 1 26 Report

1. Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=(-1)^n*\frac{2-n}{n^{n}}$ , dla $n\geq1$ oblicz $a_{2}$ i $a_{5}$ .
2. Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $2$ . Wykres ciągu zawiera się w prostej prostopadłej do prostej $y=\frac{2}{3}x$ . Wyznacz wyraz $(a_{2})$ tego ciągu.
3. Oblicz różnicę $r$ ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym piąty wyraz jest o $2$ mniejszy od drugiego wyrazu.
4. Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ , w którym $a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} = 105$ . Oblicz $a_{7}$ .

Roma

$a_n=(-1)^n \cdot \frac{2-n}{n^n}, \ dla \ n \geq 1$

$a_2=(-1)^2 \cdot \frac{2-2}{2^2}=1 \cdot \frac{0}{4}=1 \cdot 0=0$

$a_5=(-1)^5 \cdot \frac{2-5}{5^5}=-1\cdot \frac{-3}{3125}=\frac{3}{3125}$

$a_1= 2$

Zatem pierwszy wyraz ciągu a₁ na wykresie ciągu to punkt o współrzędnych (1; 2)

$y=\frac{2}{3}x \perp y =ax + b$

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1, zatem:

$a \cdot \frac{2}{3} = - 1 \ /:(\frac{2}{3}) \\\ a = - \frac{3}{2}= -1,5$

Zatem prosta, do której należy punkt (1; 2) ma postać y = - 1,5x + b i współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej, stąd:

$2 = - 1,5 \cdot 1 + b \\\ 2= - 1,5 + b \\\ b = 2+1,5 \\\ b=3,5$

Równanie prostej, w której zwiera wykres ciągu (an) to y = - 1,5x + 3,5

Drugi wyraz ciągu a₂ na wykresie ciągu to punkt o współrzędnych (2; y) i ten punkt nalezy również do prostej y = - 1,5x + 3,5. Stąd:

$y = - 1,5 \cdot 2 + 3,5 = - 3 + 3,5 = 0,5$

Zatem a₂ = 0,5

Odp. a₂ = 0,5

(an) - ciąg arytmetyczny

$a_5 = a_2 - 2$

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r:

$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot r$

otrzymujemy:

$a_2 = a_1 + (2- 1) \cdot r = a_1 + r \\\\ a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot r = a_1 + 4r$

Stąd:

$a_5 = a_2 - 2 \\\ a_1 + 4r = a_1 + r - 2 \\\ a_1 + 4r - a_1 - r= - 2 \\\ 3r = - 2 \ /:3 \\\ r = - \frac{2}{3}$

Odp. r = - ⅔

(an) - ciąg arytmetyczny

$a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 105$

Na podstawie def. ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$a_7 = a_6 + r \\\ a_6 = a_7 - r \\\\ a_6 = a_5+ r \\\ a_5 = a_6 - r = a_7 - r - r = a_7 - 2r \\\\ a_8 = a_7 + r \\\\ a_9 = a_8 + r = a_7 + r + r = a_7 + 2r$