Question

1) Dane są wielomiany W(x)=x³-1, P(x)=2x²+4x+1. Wyznacz wielomian U(x)=W(x) -xP(x) i podaj jego stopień.

2) Rozwiąż równania: 3x³+3x²-2x=0, x³+5x²-x-5=0

3) Dla jakiej wartości parametru m liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=-3x³+2x²+mx-3

4) Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x)=x³-x²-x+2 przez dwumian x-5.

Answer 1

1)

 

W(x) = x³ - 1;

P(x) = 2x² + 4x + 1.

 

U(x) = W(x) - P(x)

U(x) = x³ - 1 - (2x² + 4x + 1) = x³ - 1 - 2x² - 4x - 1 = x³ - 2x² - 4x - 2

 

Odp. U(x) = x³ - 2x² - 4x - 2.

St. wielomianu U(x) - 3 (słownie: trzy).

 

2)

 

1. 3x³+3x²-2x=0

x (3x² + 3x - 2) = 0

 

x₃ = 0.

 

Δ = 3² - 4*3*(-2) = 9 + 4*3*2 = 9+24 = 33.

 

x₁ = (-3 + √33) / 6.

x₂ = (-3 - √33) / 6.

 

Odp. x ∈{0;(-3 + √33) / 6; (-3 - √33) / 6}.

 

2. x³+5x²-x-5=0

 

x (x² -1) + 5 (x² -1) = 0

 

(x+5)(x²-1) = 0

(x+5)(x-1)(x+1) = 0

 

x₁ = -5

x₂ = 1

x₃ = -1.

 

Odp. x ∈{-5;-1;1}.

 

3)

 

W(x) = -3x³+2x²+mx-3

 

-1 ma być pierwiastkiem wielomianu, czyli reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x+1) ma być równa 0.

 

Ze schematu Hornera:

 

 

 -3

2 

m

-3 

 -1

 -3

(-3)*(-1) +2 =5 

 5*(-1) +m = -5 + m

(-5 + m)*(-1) -3 = 5 - m - 3 = 2 - m.

 

2-m = 0

 

-m = -2

 

Odp. Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy m=2.

 

 

4) 

 

W(x) = x³-x²-x+2

 

Reszta z dzielenia przez dwumian (x-5), ze schematu Hornera:

 

 

 1

-1 

-1 

2 

 5

 1

1*5 -1 = 5 - 1 = 4

 4*5 - 1 = 20 -1 = 19

19*5 + 2 = (50 + 45) + 2 = 95 + 2 = 97.

 

Odp. Reszta z dzielenia zadanego wielomianu W (x) przez dwumian (x-5) wynosi 97.

Answer 2

Zadanie 1

To chyba jest mnożenie więc

U(x)=W(x)*P(x)=(x³-1)(2x²+4x+1)=2x⁵+4x⁴+x³-2x²-4x-1

stopień wielomianu wynosi 5

Zadanie 2

 3x³+3x²-2x=0

x(3x²+3x-2)=0

x=0

3x²+3x-2=0

Δ=9+24=33

x₁=-3+√33/6

x₂=-3-√33/6

x³+5x²-x-5=0

x²(x+5)-1(x+5)=(x²-1)(x+5)

x=1 x=-1 x=-5

Zadanie 3

W(x)=-3x³+2x²+mx-3

W(-1)=3+2-m-3=2-m

2-m=0

m=2

Zadanie 4

W(x)=x³-x²-x+2 przez dwumian x-5

W(5)=125-25-5+2=97

R(x)=97