Question

1. Dane są dwa trójkąty: dwa kąty jednego z nich mają miary 37° i 48°, a drugi jest rozwartokątny. Czy te trójkąty mogą być przystające? Odpowiedź uzasadnij.

2. W trójkącie równoramiennym ABC półprosta AD jest dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta. Uzasadnij, że trójkąty ABD oraz ADC są równoramienne. (rys w zał.)

3.Uzasadnij, że dowolny trójkąt równoramienny ma dwie wysokości tej samej długości.

Answer 1

Zad. 1

Suma miary katow wewnetrznych trojkata wynosi 180 stopni.

Znamy juz miare 2 katow wiec obliczmy trzeci:

180 - (37 + 48) = 180 - 85 = 95 stopni

Oznacza to, ze pierwszy trojkat jest rozwartokatny. Nie znamy katow drugiego trojkata ale wiemy, ze tez jest rozwartokatny, a wiec mozliwe, ze sa one przystajace.

Zad. 2

(180 - 36) : 2 = 144 : 2 = 72

kat przy wierzcholku A ma miare 72 stopni

kat przy wierzcholku tez ma miare 72 stopni

Dwusieczna kata A dzieli go na dwie rowne czesci:

72 : 2 = 36

Zatem miary katow w trojkacie ADC to:

36 stopni

36 stopni

180 - 36 - 36 = 108 stopni

Dwa katy sa takie same, co swiadczy o tym, ze trojkat jest rownoramienny.

Miary katow w trojkacie ADB to:

36

72

180 - 36 - 72 = 72

Dwa katy sa takie same, co swiadczy o tym, ze trojkat jest rownoramienny.

Zad. 3

Zakladamy, ze przykaldowy trojkat ABC jest rownoramienny. Ramiona to AB i AC. Katy przy wierzcholku A i C sa sobie rowne. Wysokosci prowadzone sa pod katem prostym. Trzeci kat obliczymy jako 180 - kat przy A - 90. W oby przypadkach katy nowo powstalych trojkatow beda takie same. Jezeli trojkaty maja takie same katy wewnetrzne (sa przystajace) to i dlugosci bokow sa takie same. Oznacza to, ze poprowadzone dlugosci sa tej samej dlugosci.  

Answer 2

1. 180°-(37°+48°)=95°
Kąt rozwartokątny jest to kąt większy od 90°, co oznacza, że trójkąty te mogą być przystające.
2.

2*α+36°=180°
2α=144°
α=72°
Kąt DAB=72°/2=36°
Kąt ABD=72°
Zatem kąt ADB=180°-(72°+36°)=72°
Zatem trójkąt ABD jest równoramienny.

Wcześnie otrzymaliśmy, że DAB=36°, zatem CAD=36°. Skoro kąt CAD=ACD trójkąt jest równoramienny.

3. Trójkąt równoramienny posiada dwa ramiona równej długości. Oznacza to, że wysokość poprowadzona z każdego ramienia musi być również równej długości, o czym świadczy m.in. fakt, że pole dla danego trójkąta ABC jest constance, niezależnie od wybranego ramienia, trójkąta równoramiennego.