Question

1. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Jeśli a=½ b=⅓ to ile wynosi wartość c ?
2. Liczby 4, x, 9 są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Ile jest równa liczba x ?
3.Dany jest ciąg arytmetyczny: -7, -4, -1,... Jaki jest pięćdziesiąty wyraz tego ciągu?
4. Liczby: x-2,6,12, w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Ile wynosi liczba x ?
5. Jaki jest piąty wyraz ciągu an =1 - 1-3n/1-3

Answer 1

1. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Jeśli a=½ b=⅓ to ile wynosi wartość c ?
a, b, c - wyrazy ciągu arytmetycznego
r - różnica ciągu arytmetycznego
a=½; b=⅓; c=?

b = a + r
r = b - a
r = ⅓ - ½ = ²/₆ - ³/₆ = - ⅙

c = b + r
c = ⅓ + (- ⅙) = ²/₆ - ⅙ = ⅙

c = a + 2r
c = ½ + 2*(- ⅙) = ³/₆ - ²/₆ = ⅙

Odp. c = ⅙

2. Liczby 4, x, 9 są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Ile jest równa liczba x ?

4, x, 9 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

Skorzystamy z własności: Trzy liczby (a₁, a₂, a₃) ustawione w danej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch skrajnych, czyli wtedy, gdy: a₂² = a₁ * a₃.

a₁ = 4
a₂ = x
a₃ = 9

x² = 4 * 9
x² = 36
x = √36 = 6

Odp. x = 6


3.Dany jest ciąg arytmetyczny: -7, -4, -1,... Jaki jest pięćdziesiąty wyraz tego ciągu?

a₁ - pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego
an - n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
r - różnica ciągu arytmetycznego

a₁ = - 7
a₂ = - 4
a₃ = - 1
r = a₂ - a₁ = a₃ - a₂
r = - 4 - (- 7) = - 4 + 7 = 3
r = - 1 - ( - 4) = - 1 + 4 = 3

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r określony jest wzorem: an = a₁ + (n - 1) * r

a₅₀ = - 7 + (50 - 1) * 3 = - 7 + 49 * 3 = - 7 + 147 = 140

Odp. a₅₀ = 140


4. Liczby: x-2,6,12, w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Ile wynosi liczba x ?

x-2, 6, 12 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

a₁ = x - 2
a₂ = 6
a₃ = 12
Skorzystamy z własności: a₂² = a₁ * a₃ (patrz zad. 2)

6² = (x - 2) * 12
36 = (x - 2) * 12 /:12
x - 2 = 3
x = 3 + 2
x = 5

Odp. x = 5

5. Jaki jest piąty wyraz ciągu an =1 - 1-3n/1-3

(Nie jestem pewna czy dobrze odczytałam wyrażenie - przy takim zapisie nie bardzo wiadomo co jest w liczniku, a co w mianowniku.

Odczytałam ten zapis w ten sposób:
an =1 - [(1-3n)/(1-3)]
wtedy
a₅ = 1 - [(1-3*5)/(1-3)] = 1 - [(1 - 15)/(- 2)] = 1 - (⁻¹⁴/₋₂) = 1 - 7 = - 6

Jeśli zapis jest inny proszę pisać na PW

Odp. a₅ = - 6