Question

Zbadaj monotoniczność ciągu :
a) an=2n+1/n-5
b) an=n(kwadrat)+2/n+1

Potrafię je prawdopodobnie obliczyć, ale sprawdźcie:
a) an+1 - an = -11/n(kwadrat) - 9n+20
b) an+1 - an = n(kwadrat)+3n-1 / (n+2)(n+1)

I tu zaczyna się problem.. co z tego wynika ?

w a) góra jest ujemna a dół? dół ma miejsca zerowe 4 i 5, więc dla tych argumentów będzie -11/0 .. przez zero nie dzielimy, więc jaka jest ta funkcja? jest monotoniczna? czy nie ? jeśli jest to jest rosnąca czy malejąca?

w b) znów dół jest dodatni, ale góra ma również miejsca zerowe (tutaj nie będą pełne liczy, więc ich nie podaję) więc raz wynik będzie ujemny, raz dodatni.. czy ta funkcja jest nie monotoniczna?

Ja podałam rozwiązanie w 90 %, ale proszę sprawdź, a nóż widelec się pomyliłam i stąd moje problemy..

Dam naj ;)) Liczę na Was ! ;)

Answer 1

Ciąg jest:
     a)      rosnący jeśli różnica między dwoma dowolnymi wyrazami jest > 0
     b)      malejący jeśli różnica między dwoma dowolnymi wyrazami jest < 0
     c)      niemalejący jeśli różnica między dwoma dowolnymi wyrazami jest ≥ 0
     d)      nierosnący jeśli różnica między dwoma dowolnymi wyrazami jest ≤ 0


a)
    

Sprawdzamy znak w zależności od n:
ponieważ licznik jest liczbą, a mianownik nie może być zerem, więc odpadają c) i d)
Licznik jest ujemny, więc różnica jest >0 jeśli mianownik też jest ujemny, a <0 jeżeli mianownik jest dodatni



1) zbiór pusty oznacza, że ciąg nie jest rosnący
2) nieciągłość oznacza, że ciąg nie jest malejący

Czyli ciąg nie jest monotoniczny
(gdyby to była funkcja, to byłaby malejąca w dwóch przedziałach,ale nie w ich sumie)

b)
  

ponieważ  więc mianownik jest większy od 0
najmniejsze n to n=1, więc najmniejszą wartością jaką przyjmuje licznik jest: 1²+3·1-1=3  >0
Dla każdego    różnica jest większa od zera, więc ciąg jest rosnący