Question

Znajdz rozwiązanie poniższego układu równań przeprowadzając rozkład LU z wykorzystaniem algorytmu Doolitle'a

a=-2 ; b=1 ; c=1 ; d=0 ; e=0 ; f=-2

Answer 1

Odpowiedź:

Rozkład LU (Lower-Upper) to metoda rozkładu macierzy na dwie osobne macierze - dolną (L) i górną (U). Algorytm Doolittle'a jest jedną z metod rozkładu LU. W celu przeprowadzenia rozkładu LU dla podanego układu równań, musimy najpierw zdefiniować macierze A i B oraz przeprowadzić kroki algorytmu Doolittle'a.

Podany układ równań:

-2a + b + c = d

e = f

Definiujemy macierze A i B:

A = | -2  1  1 |

   |  0  0  0 |

   

B = | d |

   | f |

Kroki algorytmu Doolittle'a:

Ustalamy L11 = 1.

Obliczamy U12, U13 i L21.

Obliczamy U22, U23 i L31.

Obliczamy U33.

Rozwiązanie:

L = |  1  0  0 |

   |  0  1  0 |

   

U = | -2  1  1 |

   |  0  0  0 |

   |  0  0  0 |

Rozkład LU macierzy A:

A = L * U

L * U = |  1  0  0 |   | -2  1  1 |

       |  0  1  0 | * |  0  0  0 |

       |  0  0  0 |   |  0  0  0 |

Dzięki temu rozkładowi możemy łatwo rozwiązać układ równań.