Question

Znajdź ujemną wartość parametru a taką, że pole figury ograniczonej wykresem funkcji y=ax2-3 oraz prostymi x = 1, x = 3, y = 0 wynosi 19.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]a=-\frac{3}{2}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

W przypadku ujemnego a ramiona paraboli skierowane są do dołu, a cały wykres tak zdefiniowanej funkcji znajduje się pod osią OX. Zatem pole figury jest równe całce oznaczonej w granicach całkowania od 1 do 3 dla funkcji [tex]-y[/tex].

[tex]P=\int\limits^3_1 {-(ax^2-3)} \, dx =\int\limits^3_1 {(3-ax^2)} \, dx =\left[3x-\frac{1}{3}ax^3\right]^3_1=\\\\=(3*3-\frac{1}{3}a*3^3)-(3*1-\frac{1}{3}a*1^3)=(9-\frac{1}{3}a*27)-(3-\frac{1}{3}a*1)=\\\\=(9-9a)-(3-\frac{1}{3}a)=9-9a-3+\frac{1}{3}a=6-8\frac{2}{3}a[/tex]

Pole ma wynosić 19, więc

[tex]6-8\frac{2}{3}a=19\\\\-8\frac{2}{3}a=19-6\\\\-\frac{26}{3}a=13\ |:\left(-\frac{26}{3}\right)\\\\a=13*\left(-\frac{3}{26}\right)\\\\a=1*\left(-\frac{3}{2}\right)\\\\a=-\frac{3}{2}[/tex]