Question

Znajdź gradienty dla funkcji:
a) z = x^2 y^2 + 2x - 3y
b) z = 3x - 5xy^3 + y^2

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby znaleźć gradienty dla funkcji, należy obliczyć pochodne cząstkowe funkcji względem każdej zmiennej.

a) Pochodna cząstkowa funkcji względem x to:

∂f/∂x = 2x*y^2

Pochodna cząstkowa funkcji względem y to:

∂f/∂y = 2xy^2 - 3

Gradient dla funkcji x^2y^2+2x-3y to wektor składający się z pochodnych cząstkowych funkcji względem każdej zmiennej:

∇f = <2xy^2 , 2xy^2 - 3>

W tym przypadku, gradient jest to wektor składający się z dwóch składowych, odpowiadających pochodnym cząstkowym funkcji względem x i y.

b) Gradient dla funkcji z = 3x - 5xy^3+y^2 to:

∇f = <3 - 5y^3 , -5x*y^3+2y>

Answer 2

a)

[tex]z=x^2 y^2 + 2x - 3y[/tex]

Liczymy pochodne cząstkowe.

[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=2xy^2+2\\\frac{\partial z}{\partial y}=2x^2y-3[/tex]

Podajemy gradient.

[tex]\nabla z=\left[\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right]=\left[2xy^2+2,2x^2y-3\right][/tex]

b)

[tex]z = 3x - 5xy^3 + y^2[/tex]

Liczymy pochodne cząstkowe.

[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=3-5y^3\\\frac{\partial z}{\partial y}=-15xy^2+2y[/tex]

Podajemy gradient.

[tex]\nabla z=\left[\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right]=\left[3-5y^3,-15xy^2+2y\right][/tex]