Question

Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
a) f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 6x -9y

Answer 1

Odpowiedź:

Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie [tex]P=(1,4)[/tex] wynoszące [tex]f(P)=-21[/tex].

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]f(x,y)=x^2 + xy + y^2 - 6x -9y[/tex]

1) Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-6\\\\\frac{\partial f}{\partial y}=x+2y-9[/tex]

2) Szukamy punktów stacjonarnych, tworząc i rozwiązując układ równań.

[tex]\left \{ {{2x+y-6=0} \atop {x+2y-9=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=6-2x} \atop {x+2(6-2x)-9=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=6-2x} \atop {x+12-4x-9=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=6-2x} \atop {-3x=-3\ |:(-3)}} \right. \\\\\left \{ {{y=6-2*1 \atop {x=1}} \right. \\\\\left \{ {{y=4 \atop {x=1}} \right.[/tex]

Punktem stacjonarnym jest:

[tex]P=(1,4)[/tex]

3) Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu.

[tex]\frac{\partial f^2}{\partial x^2}=2\\\\\frac{\partial f^2}{\partial xy}=1\\\\\frac{\partial f^2}{\partial yx}=1\\\\\frac{\partial f^2}{\partial y^2}=2[/tex]

4) Tworzymy i obliczamy wyznaczniki oraz wnioskujemy o istnieniu ekstremum.

[tex]W=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f^2}{\partial x^2}&\frac{\partial f^2}{\partial xy}\\\frac{\partial f^2}{\partial yx}&\frac{\partial f^2}{\partial y^2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right|\\\\W(P)=2*2-1*1=4-1=3[/tex]

Ponieważ [tex]W(P) > 0[/tex], to funkcja w punkcie [tex]P[/tex] osiąga ekstremum, a skoro [tex]\frac{\partial f^2}{\partial x^2}(P)=2 > 0[/tex], to jest to minimum lokalne. Wynosi ono

[tex]f(P)=1^2+1*4+4^2-6*1-9*4=1+4+16-6-36=-21[/tex]