Ze zbioru {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} losujemy ze zwracaniem trzy razy po jednej liczbie .
Kolejne wylosowane liczby zapisujemy jako współczynniki a,b,c funkcji f(x)= ax² + bx + c. Oblicz, na ile sposobów w ten sposób wzór;
a) funkcji malejącej
b) funkcji której zbiór wartości jest przedziałem postaci (- ∞ ; d〉, d ∈ R.
Kolejne wylosowane liczby zapisujemy jako współczynniki a,b,c funkcji f(x)= ax² + bx + c. Oblicz, na ile sposobów w ten sposób wzór;
a) funkcji malejącej
b) funkcji której zbiór wartości jest przedziałem postaci (- ∞ ; d〉, d ∈ R.
More Questions From This User See All
Kombinatoryka - reguła mnożenia
Reguła mnożenia mówi nam, na ile sposobów możemy wybrać "cos" z pewnego zbioru lub zbiorów.
Przykład:
Za każdą z liter tego słowa możemy wstawić jedną z 6 dostępnych liter (litery mogą się powtarzać) zatem:
6*6*6*6=6⁴=1296
Za pierwszą literę słowa możemy wybrać jedną z 6 dostępnych liter, a za każdą następną - o 1 mniej (ponieważ litery nie mogą się powtarzać), zatem:
6*5*4*3=360
Rozwiązanie:
[tex]Z=\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}[/tex]
[tex]n=10[/tex]
a)
Funkcja kwadratowa jest jednocześnie rosnąca i malejąca w różnych zakresach, w zależności od współczynnika stojącego przy x².
Jeżeli poszukujemy wyłącznie funkcji malejącej, musimy pozbyć się x² ze wzoru, zatem:
a = 0 (1 możliwość)
W ten sposób powstaje nam funkcja liniowa o postaci f(x)=bx+c, która w zależności od współczynnika b będzie:
Poszukujemy funkcji malejącej, dlatego za b możemy przyjąć wyłącznie te elementy zbioru Z, które są mniejsze od 0, zatem:
b = {-5, -4, -3, -2, -1} (5 możliwości)
Liczby są losowane ze zwracaniem, dlatego za współczynnik b można wylosować każdą z dostępnych w zbiorze liczb.
c = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)
Ilość możliwych sposobów:
1*5*10=50
Odp. Funkcję malejącą można zapisać na 50 sposobów.
b)
Jeżeli zbiorem wartości jest przedział (-∞; d> dla d∈R, oznacza to, że mamy do czynienia z parabolą (i tylko parabolą, ponieważ zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych x∈R : (-∞; ∞) lub dla funkcji stałej: {d}), w której zwrot ramion jest skierowany w dół, zatem a<0
a={-5, -4, -3, -2, -1} (5 możliwości).
d jest wierzchołkiem paraboli, zatem ma wzór: [tex]\frac{-\Delta}{4a}[/tex] gdzie a≠0 (tę liczbę już wykluczyliśmy wyżej).
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
za b i c możemy podstawic każdą liczbę ze zbioru, zatem:
b = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)
c = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)
Ilość możliwych sposobów:
5*10*10=500
Odp. Funkcję, której zbiór wartości jest przedziałem postaci (-∞; d> można zapisać na 500 sposobów.