Question

zdiecie w zalaczniku​

Answer 1

1. Wyznacz wyrazy [tex]a_{8},\ a_{k+1},\ a_{3n}[/tex]:

[tex]a)\ a_{n} = 2n^{2}+n\\a_{8} = 2 * 8^{2} + 8 = 2 * 64 + 8 = 128 + 8 = 136\\a_{k+1} = 2(k + 1)^{2}+(k+1) = 2(k^{2}+2k+1)+k+1=2k^{2}+4k+2+k+1=2k^{2}+5k+3\\a_{3n} = 2*(3n)^{2}+3n=2*9n^{2}+3n=18n^{2}+3n\\\\b)\ a_{n}=\frac{4n-1}{n+2} \\a_{8} = \frac{4*8-1}{8+2}=\frac{32-1}{10}=\frac{31}{10}\\a_{k+1}=\frac{4(k+1)-1}{(k+1)+2} = \frac{4k+4-1}{k+1+2} = \frac{4k+3}{k+3}\\a_{3n}=\frac{4*3n-1}{3n+2} = \frac{12n-1}{3n+2}[/tex]

2. Wyznacz czwarty wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:

                                                     [tex]\left \{ {{a_{1}=2} \atop {a_{n+1}=3a_{n}-2}} \right.[/tex]

[tex]a_{2} = 3a_{1}-2=3*2-2=6-2=4\\a_{3}=3a_{2}-3=3*4-2=12-2=10\\a_{4}=3a_{3}-2=3*10-2=30-2=28[/tex]

3. Który wyraz ciągu [tex]a_{n}[/tex] jest równy x (n ∈ N₊):

[tex]a)\ a_{n}=7n-8\ ;\ x=209\\209=7n-8\\217=7n\\n=31\\odp:\ 31.\ wyraz\ ciagu\ jest\ rowny\ x.\\\\b)\ a_{n}=n(n+2)\ ;\ x=8\\8=n(n+2)\\8=n^{2}+2n\\n^{2}+2n-8=0\\n^{2}+4n-2n-8=0\\n(n+4)-2(n+4)=0\\(n-2)(n+4)=0\\n=2\ v\ n=-4 < 0 = > \ n=2\\odp:\ 2.\ wyraz\ ciagu\ jest\ rowny\ x.\\[/tex]

4. Ile wyrazów ciągu [tex]a_{n}[/tex] jest mniejszych od x (n ∈ N₊):

[tex]a)\ a_{n}=6n-15\ ;\ x=9\\6n-15 < 9\\ 6n < 24\\ n < 4\\[/tex]

n ∈ {1 ; 2 ; 3}

odp: trzy wyrazy są mniejsze od x

b) [tex]a_{n}[/tex]= n² + 2n - 24 ; x = 0

n² + 2n - 24 < 0

Δ = 4 + 96 = 100

√Δ = √100 = 10

[tex]n_{1} = \frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2} =4 \\n_{2} = \frac{-2-10}{2}=\frac{-12}{2} =-6[/tex]

a > 0 ⇒ n ∈ (-6;4)

n ∈ {1 ; 2 ; 3}

odp: trzy wyrazy są mniejsze od x