Question

Zbadaj monotonicznosc an=n^2 -2n -8

Answer 1

Ciąg  [tex]\large\text{$a_n=n^2 -2n -8$}[/tex]  jest rosnący

Ciąg liczbowy

jest:

• rosnący, jeśli dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów różnica między następnym a poprzednim jest większa od 0,
• malejący, jeśli dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów różnica między następnym a poprzednim jest mniejsza od 0,
• stały, jeśli dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów różnica między następnym a poprzednim jest równa 0,

Jeśli mamy dany wzór na n-ty wyraz ciągu, to badanie monotoniczności tego ciągu polega na:

1. Wyznaczeniu wzoru na kolejny wyraz [tex]\big(a_{n+1}\big)[/tex].
2. Wyznaczeniu różnicy obu wyrazów  [tex]\big(a_{n+1}-a_n\big)[/tex].
3. Określeniu znaku otrzymanej różnicy.
   

[tex]\large\text{$\bold{a_n=n^2 -2n -8}$}[/tex]

Ad. 1.

[tex]a_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)-8\\\\a_{n+1}=n^2+2n+1-2n-2-8\\\\ \large\text{$a_{n+1}=n^2-9$}[/tex]

Ad. 2.

[tex]a_{n+1}-a_n=n^2-9-(n^2 -2n -8)\\\\a_{n+1}-a_n=n^2-9-n^2+2n+8\\\\\large\text{$a_{n+1}-a_n=2n-1$}[/tex]

Ad. 3.

n to numer porządkowy wyrazu ciągu, więc jest liczbą naturalną różną od 0

Czyli najmniejszą wartością jaką przyjmuje jest n=1

2·1 - 1 = 1 >0, więc różnica [tex]\large\text{$a_{n+1}-a_n=2n-1$}[/tex] jest większa od 0 bez względu na n,

czyli ciąg  [tex]\bold{a_n=n^2 -2n -8}[/tex]  jest rosnący.