Question

Zbadaj liczbę rozwiązań równania x^2 + (m + 2)x + m + 2 = 0 w zależności od parametru m.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\left\{\begin{array}{l}2\text{ rozw. dla }m\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\\1\text{ rozw. dla } m\in\{-2,2\}\\0\text{ rozw. dla }m\in(-2,2)\end{array}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]x^2 + (m + 2)x + m + 2 = 0\\a=1\qquad b=m+2\qquad c=m+2[/tex]

Policzmy deltę.

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(m+2)^2-4*1*(m+2)=m^2+4m+4-4m-8=m^2-4[/tex]

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, gdy delta jest większa od 0.

[tex]\Delta > 0\\m^2-4 > 0\\(m+2)(m-2) > 0\\m_1=-2\\m_2=2\\\text{Ramiona skierowane do g\'ory, zatem}\\m\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)[/tex]

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązani, gdy delta jest równa 0.

[tex]\Delta = 0\\m^2-4 = 0\\m_1=-2\\m_2=2\\m\in\{-2,2\}[/tex]

Równanie kwadratowe ma brak rozwiązań, gdy delta jest mniejsza od 0.

[tex]\Delta < 0\\m^2-4 < 0\\(m+2)(m-2) < 0\\m_1=-2\\m_2=2\\\text{Ramiona skierowane do g\'ory, zatem}\\m\in(-2,2)[/tex]