Question

"Zastosowanie oscylatora harmonicznego i jego rola w opisie przyrody?" - temat referatu z fizyki.

Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc z Waszej strony ;)

Answer 1

Oscylator harmoniczny to każdy układ fizyczny, który "krąży wokół położenia równowagi z pewną ustaloną częstością". Wśród popularnych przykładów oscylatora harmonicznego podaje się wahadło, ciężarek zawieszony na sprężynce, czy też układ RLC.
Model oscylatora harmonicznego jest jednym z kilku podstawowych w całej fizyce i pojawia się niemal we wszystkich działach tej nauki.
Ściśla definicja jednowymiarowego oscylatora harmonicznego mówi, że jest to każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zwanym równaniem oscylatora harmonicznego:

frac{d^2x}{dt^2} + omega_0^2 x = 0 (1)

gdzie:

x jest wpółrzędną (np. w przypadku wahadła lub ciężarka może to być wychylenie) &omegao nazywa się częstością własną oscylatora (jej znaczenie fizyczne wyjaśni się poniżej)

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym.
Rozważmy przykład ciężarka wiszącego na sprężynie. Drugie prawo Newtona w połączeniu z prawem Hooke'a pozwala nam napisać równanie opisujące zachowanie ciężarka:

ma = -kx (2)

gdzie x jest wychyleniem ciężarka z położenia równowagi, a - przyspieszeniem ciężarka, m - jego masą, a k - stałą sprężystości sprężyny.
Ponieważ przyspieszenie, z definicji, jest drugą pochodną położenia po czasie, to powyższe równanie można przekształcić do postaci równania oscylatora harmonicznego, gdzie

omega_0^2 = k/m (3)

Najprostszy sposób rozwiązania równania oscylatora polega na spostrzeżeniu, że gdy d2z/dt2 ∝ -z, to z jest funkcją trygonometryczną sinus, cosinus lub ich kombinacją liniową. I tak podstawia się na próbę:

x = A cos(omega t + phi) (4)

gdzie A jest amplitudą, φ jest przesunięciem fazy, a ω jest częstością kołową.Wtedy

frac{d^2x}{dt^2} = -A omega^2 cos(omega t + phi) (5)

a po podstawieniu obu wyrażeń (4) i (5)do równania (1) otrzymujemy

(-omega^2 + omega_0^2) cdot A cos(omega t + phi) = 0 (6)

Nietrywialne rozwiązanie otrzymamy tylko gdy:

omega^2 = omega_0^2 (7)

Z kolei jedynym sensownym z fizycznego punktu widzenia rozwiązaniem tego równania jest

omega = omega_0 (8)

Stąd wynika bardzo istotny fakt: częstość kołowa drgań oscylatora zależy tylko od fizycznych parametrów charakteryzujących modelowany układ, a nie zależy od warunków początkowych (tj. ani od amplitudy drgań A, ani od ich początkowej fazy φ).

Zastosowanie - przede wszystkim tak zwane małe drgania wszelkich obiektów mechanicznych i drgania elektryczne.