Zapisz w postaci iloczynu
2a²b²+2b²c²+2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴
Porszę o pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami a nie samą odpowiedź. Zachęcam do zobaczenia moich innych pytań z matematyki, daje naj.
2a²b²+2b²c²+2c²a²-a⁴-b⁴-c⁴
Porszę o pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami a nie samą odpowiedź. Zachęcam do zobaczenia moich innych pytań z matematyki, daje naj.
Verified answer
Krok 1.
Wyciągamy "-" przed nawias i porządkujemy wyrażenie w nawiasie.
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)[/tex]
Krok 2.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, żeby "zwinąć" do kwadratu [tex]a^4+b^4-2a^2b^2[/tex].
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2][/tex]
Krok 3.
W nawiasie kwadratowym dodajemy i odejmujemy [tex]4b^2c^2[/tex]. Robimy to, żeby w kolejnym kroku przy wyciąganiu przed nawias uzyskać w nawiasie [tex]a^2-b^2[/tex]. Bez tego kroku mielibyśmy w nawiasie [tex]a^2+b^2[/tex].
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2+4b^2c^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4+2b^2c^2-2c^2a^2-4b^2c^2][/tex]
Krok 4.
Z [tex]2b^2c^2-2c^2a^2[/tex] wyciągamy przed nawias [tex]-2c^2[/tex].
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2+4b^2c^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4+2b^2c^2-2c^2a^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2c^2(a^2-b^2)-4b^2c^2][/tex]
Krok 5.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, żeby "zwinąć" do kwadratu [tex](a^2-b^2)^2+c^4-2c^2(a^2-b^2)[/tex].
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2+4b^2c^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4+2b^2c^2-2c^2a^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2c^2(a^2-b^2)-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2][/tex]
Krok 6.
Korzystamy zw wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
[tex]2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=-(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2)=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2+4b^2c^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4+2b^2c^2-2c^2a^2-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2)^2+c^4-2c^2(a^2-b^2)-4b^2c^2]=\\=-[(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2]=-(a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc)[/tex]