Oprócz znajomości powyższych zasad, musimy pamiętać, że gdy mnożymy dwa pierwiastki, przed którymi stoją liczby, to liczby mnożymy przez siebie, a pierwiastki mnożymy przez siebie, na przykład:
Ponownie - każdą liczbę osobno podnosimy do kwadratu. Pamiętajmy, że pierwiastek kwadratowy podniesiony do kwadratu daje nam w wyniku liczbę, która pojawiła się pod pierwiastkiem.
Rozpisujemy -10 jako mnożenie liczb -1 i 10. W działaniu występuje pierwiastek sześcienny, więc liczbę -1 możemy spierwiastkować wprost. Zmienia nam ona znak działania z minusa na plus. Ostatecznie dodajemy dwa pierwiastki sześcienne z 10 i jeden taki sam pierwiastek. Otrzymujemy trzy pierwiastki sześcienne z liczby 10.
Podnosimy do potęgi trzeciej oddzielnie liczbę 2 i oddzielnie pierwiastek sześcienny. Pamiętajmy, że pierwiastek sześcienny do potęgi trzeciej daje nam liczbę, która wpisana była pod pierwiastkiem (razem ze znakiem).
[tex]\textbf{a)}\ 2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\\\\\textbf{b)}\ 3\sqrt{7} \cdot 8 = 24\sqrt{7}\\\\\textbf{c)}\ 6\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{5}=15\\\\\textbf{d)}\ (2\sqrt{3})^2=12\\[/tex]
[tex]\textbf{e)}\ (\frac{2\sqrt{6}}{3})^2=2\frac{2}{3}\\\\\textbf{f)}\ 5\sqrt[3]{7}-2,5\sqrt[3]{7}=2,5\sqrt[3]{7}\\\\\textbf{g)}\ 2\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{-10}=3\sqrt[3]{10}\\\\\textbf{h)}\ (2\sqrt[3]{-5})^3=-40[/tex]
Działania na pierwiastkach
Wzory działań na pierwiastkach:
[tex]\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a\\\\(\sqrt{a})^2=a\\\\\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}\\\\\sqrt{a} + \sqrt{a} =2\sqrt{a}\\\\\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a\\\\(\sqrt[3]{a})^3=a[/tex]
Oprócz znajomości powyższych zasad, musimy pamiętać, że gdy mnożymy dwa pierwiastki, przed którymi stoją liczby, to liczby mnożymy przez siebie, a pierwiastki mnożymy przez siebie, na przykład:
[tex]3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}=3\cdot4\sqrt{5\cdot2}=12\sqrt{10}[/tex]
Szczegółowe rozwiązanie:
[tex]\textbf{a)}\ 2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\\\\[/tex]
Dodajemy dwa pierwiastki z liczby 5 i jeden pierwiastek z liczby 5. Uzyskujemy trzy pierwiastki z liczby 5.
[tex]\textbf{b)}\ 3\sqrt{7} \cdot 8 = 24\sqrt{7}\\\\[/tex]
Mnożenie razy 8 to tak naprawdę mnożenie tej liczby razy liczbę stojącą przed pierwiastkiem. Liczba pod pierwiastkiem nie zmienia się.
[tex]\textbf{c)}\ 6\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{5}=6\cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}=\frac{6}{2} \cdot 5=3 \cdot 5 = 15\\\\[/tex]
Mnożymy oddzielnie liczby przed pierwiastkami i oddzielnie same pierwiastki.
[tex]\textbf{d)}\ (2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot 3 = 12\\[/tex]
Podnosimy do kwadratu osobno liczbę przed pierwiastkiem i osobno sam pierwiastek. Wyniki mnożymy.
[tex]\textbf{e)}\ (\frac{2\sqrt{6}}{3})^2=\frac{2^2 \cdot (\sqrt{6})^2}{3^9}=\frac{4\cdot 6}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\\\\[/tex]
Ponownie - każdą liczbę osobno podnosimy do kwadratu. Pamiętajmy, że pierwiastek kwadratowy podniesiony do kwadratu daje nam w wyniku liczbę, która pojawiła się pod pierwiastkiem.
[tex]\textbf{f)}\ 5\sqrt[3]{7}-2,5\sqrt[3]{7}=2,5\sqrt[3]{7}\\\\[/tex]
Od pięciu pierwiastków sześciennych z liczby 7 odejmujemy dwa i pół takie same pierwiastki. Otrzymujemy dwa i pół pierwiastka sześciennego z liczby 7.
[tex]\textbf{g)}\ 2\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{-10}=2\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{(-1)\cdot10}=2\sqrt[3]{10}-(-1)\cdot\sqrt[3]{10}=\\\\=2\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{10}=3\sqrt[3]{10}\\\\[/tex]
Rozpisujemy -10 jako mnożenie liczb -1 i 10. W działaniu występuje pierwiastek sześcienny, więc liczbę -1 możemy spierwiastkować wprost. Zmienia nam ona znak działania z minusa na plus. Ostatecznie dodajemy dwa pierwiastki sześcienne z 10 i jeden taki sam pierwiastek. Otrzymujemy trzy pierwiastki sześcienne z liczby 10.
[tex]\textbf{h)}\ (2\sqrt[3]{-5})^3=8\cdot (-5)=-40[/tex]
Podnosimy do potęgi trzeciej oddzielnie liczbę 2 i oddzielnie pierwiastek sześcienny. Pamiętajmy, że pierwiastek sześcienny do potęgi trzeciej daje nam liczbę, która wpisana była pod pierwiastkiem (razem ze znakiem).
#SPJ1