Zapisz każdą z liczb (jeśli to możliwe) 2005, 2013, 2015 w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych. Pokaż dwa różne przedstawienia.
Liczę na pełne rozwiązanie, bardziej interesuje mnie sposób myślenia w tym zadaniu niż sama odpowiedź.
Liczę na pełne rozwiązanie, bardziej interesuje mnie sposób myślenia w tym zadaniu niż sama odpowiedź.
Verified answer
[tex]2005=41^2+18^2,\quad 2005=39^2+22^2[/tex]
Liczb [tex]2013[/tex] i [tex]2015[/tex] nie da się zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Rozkład danych liczb na sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych.
Liczby z treści należy przedstawić w postaci [tex]a^2+b^2[/tex], gdzie [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] są liczbami naturalnymi.
Na przykładzie pierwszej liczby, zadanie sprowadza się do rozwiązania równania [tex]a^2+b^2=2005[/tex] czyli równoważnie [tex]a^2=2005-b^2.[/tex]
W tym miejscu wystarczy podstawiać kolejne liczby naturalne za [tex]b[/tex] do momentu, aż po prawej stronie równości otrzymamy kwadrat liczby naturalnej.
W tym przypadku dostaniemy [tex]a^2=2005-18^2=1681=41^2,[/tex] stąd [tex]a=41[/tex] i [tex]b=18[/tex].
W następnej kolejności: [tex]a^2=2005-22^2=1521=39^2[/tex], stąd [tex]a=39[/tex] i [tex]b=22[/tex].
Postępując w identyczny sposób, w przypadku liczb [tex]2013[/tex] i [tex]2015[/tex] nie dostaniemy rozwiązań, więc tych liczb nie da się zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
W ramach ciekawostki, fakt, że liczby [tex]2013[/tex] i [tex]2015[/tex] są nierozkładalne możemy uzasadnić stosując twierdzenie Waringa, według którego: liczbę naturalną [tex]n[/tex] możemy przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze, wszystkie liczby pierwsze będące w postaci [tex]4k + 3[/tex] występują w potęgach parzystych (parzyście wiele razy).
W przypadku liczby [tex]2013=3\cdot 11\cdot 61[/tex] w tej postaci jest liczba [tex]11=4\cdot 2+3[/tex] i występuje w potędze pierwszej (jeden raz), więc warunek nie jest spełniony.
[tex]2015=5\cdot 13\cdot 31[/tex], tutaj mamy [tex]31=4\cdot 7+3[/tex], podobnie liczba ta występuje jeden raz, więc również nie mamy spełnionego warunku.
W przypadku liczby [tex]2015[/tex] możemy oprzeć się także na resztach z dzielenia. Liczba [tex]2015[/tex] daje resztę [tex]3[/tex] z dzielenia przez [tex]4[/tex], ale kwadrat liczby całkowitej może dawać reszty [tex]0[/tex] lub [tex]1[/tex] przy dzieleniu przez [tex]4[/tex] (polecamy próbę udowodnienia tego faktu), wówczas nie jest możliwy zapis takiej liczby w postaci [tex]a^2+b^2[/tex], gdyż to wyrażenie może dawać resztę [tex]0, 1[/tex] lub [tex]2[/tex] przy dzieleniu przez [tex]4[/tex].
#SPJ1