Miejsca zerowe funkcji to punkty, w których wykres funkcji przecina oś OX układu współrzędnych, czyli taki argument funkcji, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
Zanim przejdziemy do wyznaczania miejsc zerowych podanych funkcji, ważnym krokiem jest wyznaczenie dziedziny funkcji, czyli zbioru takich argumentów funkcji, dla których ma ona sens liczbowy.
Dla wyznaczenia dziedziny należy pamiętać, że mianownik ułamka nigdy nie może być równy 0, ponieważ dzielenie przez 0 jest niedozwolone w matematyce.
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji wiemy, że x=-1 nie należy do wykresu funkcji, nie będzie więc jednym z rozwiązań funkcji, zatem podpunkt ten wykluczamy z zadania.
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji wiemy, że x=1 nie należy do wykresu funkcji, nie będzie więc jednym z rozwiązań funkcji, zatem podpunkt ten również wykluczamy z zadania.
C. [tex]f(x)=(x^2+1)(x-1)[/tex]
Wyznaczenie dziedziny:
We wzorze funkcji nie zauważamy żadnych liczb, które należałoby wykluczyć ze zbioru liczb rzeczywistych, zatem dziedzina funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Odp. D.
Miejsca zerowe funkcji
Miejsca zerowe funkcji to punkty, w których wykres funkcji przecina oś OX układu współrzędnych, czyli taki argument funkcji, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
Zanim przejdziemy do wyznaczania miejsc zerowych podanych funkcji, ważnym krokiem jest wyznaczenie dziedziny funkcji, czyli zbioru takich argumentów funkcji, dla których ma ona sens liczbowy.
Dla wyznaczenia dziedziny należy pamiętać, że mianownik ułamka nigdy nie może być równy 0, ponieważ dzielenie przez 0 jest niedozwolone w matematyce.
A. [tex]f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}[/tex]
[tex]x^2+2x+1 \neq 0\\\\a=1, b=2, c=1\\\\\Delta=b^2-4ac \Rightarrow \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 1 \Rightarrow \Delta=4-4 \Rightarrow \Delta=0\\\\x_0=\dfrac{-b}{2a} \Rightarrow x_0=\dfrac{-2}{2} \Rightarrow x_0=-1\\\\\boxed{\underline{\bold{\text{D: }x\in \mathbb{R}\setminus\{-1\}}}}[/tex]
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji wiemy, że x=-1 nie należy do wykresu funkcji, nie będzie więc jednym z rozwiązań funkcji, zatem podpunkt ten wykluczamy z zadania.
B. [tex]f(x)=\dfrac{3x^2-3}{x-1}[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}x-1\neq 0&|&+1\\\\x\neq 1\\\\\boxed{\underline{\bold{\text{D: }x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}}}}\end{array}[/tex]
Po wyznaczeniu dziedziny funkcji wiemy, że x=1 nie należy do wykresu funkcji, nie będzie więc jednym z rozwiązań funkcji, zatem podpunkt ten również wykluczamy z zadania.
C. [tex]f(x)=(x^2+1)(x-1)[/tex]
We wzorze funkcji nie zauważamy żadnych liczb, które należałoby wykluczyć ze zbioru liczb rzeczywistych, zatem dziedzina funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
[tex]\underline{\bold{\text{D: }x\in\mathbb{R}}}[/tex]
[tex](x^2+1)(x-1)=0\\\\\begin{array}{lll}x^2+1=0\:|\:-1&\wedge&x-1=0\:|\:+1\\\\x^2\neq -1&&\boxed{\underline{\bold{x=1}}}\\\\\end{array}[/tex]
Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych, zatem jedynym miejscem zerowym tej funkcji jest x=1.
D. [tex]f(x)=\dfrac15x^2-\dfrac15[/tex]
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, nie zauważamy żadnych argumentów, które należy wykluczyć.
[tex]\underline{\bold{\text{D: }x\in\mathbb{R}}}[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}\dfrac15x^2-\dfrac15=0&|&+\dfrac15\\\\\dfrac15x^2=\dfrac15&|&\cdot 5\\\\x^2=1&|&\sqrt{}\\\\\boxed{\underline{\bold{x=1\:\wedge x=-1}}}\end{array}[/tex]
Miejscami zerowymi tej funkcji są x=1 oraz x=-1.