Question

zadanie z funkcji odwrotnych poziom klasa 1 liceum matematyka zakres rozszerzony, prosiłabym o zrobienie zadania z podpunktu b)

Answer 1

Odpowiedź:

a)

Aby do funkcji można było znaleźć funkcję odwrotną nasza funkcja musi być różnowartościowa tzn. x₁≠  x₂ ⇒ f(x₁) ≠  f(x₂)

a) jest to typowa funkcja homograficzna ,która jest różnowartościowa i da się ją odwrócić

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1} \quad D=R-\{-1\}\quad Z_w=R-\{1\}[/tex]

Funkcja odwrócona będzie miała zawsze dziedzinę taką jak Zw funkcji odwracanej , a zbiór wartości taki jak dziedzina.

Aby odwrócić funkcję zamieniamy x z y

[tex]\displaystyle x=\frac{y}{y+1} \quad y\ne-1\\x(y+1)=y\\xy+x-y=0\\y(x-1)=-x/:(x-1)\quad x\ne1\\y=\frac{-x}{x-1} \quad x\ne1[/tex]

Jak widzimy nasza funkcja odwrócona ma D=R-{1} i ZW = R-{-1}

Nasza funkcja odwrócona  jest rzeczywiście symetryczna wzgl. osi y=x

b)

Funkcja

[tex]\displaystyle F(x) =\frac{1}{|x|} \quad x\ne0[/tex]

nie jest funkcją różnowartościową co łatwo udowodnić -5≠5 a f(-5)=f(5)

dlatego w całości nie da się odwrócić