c) Para (3, 3) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
d) Para (2, 0) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
e) Para (1/3, 4/3) jest rozwiązaniem danego układu równań.
Para liczb spełniająca układa równań.
Układ równań są to dwa, trzy, cztery, ... równania z niewiadomymi. Niewiadome oznaczone tą samą literą w każdym równaniu oznacza tą samą niewiadomą (ma mieć tą samą wartość).
Rodzaje układów równań:
układ oznaczony - to układ, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie;
układ nieoznaczony - to układ, który posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
układ sprzeczny - to układ, który nie posiada rozwiązania.
Metody rozwiązywania układów równań (te, które uczy się w szkole):
metoda podstawiania - polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawienia równego wyrażenia do drugiego równania budując równanie z jedną niewiadomą. Po rozwiązaniu równania podstawiamy obliczoną wartość do poprzedniego równania obliczając wartość drugiej niewiadomej;
metoda przeciwnych współczynników - polega na przekształceniu uporządkowanego układu równań do postaci, aby przy jednej z niewiadomych występowały przeciwne współczynniki. Podkreślamy i dodajemy równania stronami (jedna z niewiadomych redukuje się do zera). Obliczamy wartość drugiej niewiadomej. Podstawiamy obliczoną wartość do dowolnego z równań i obliczamy wartość drugiej niewiadomej.
metoda wyznacznikowa - (ponadprogramowa) nadaje się tylko do równań liniowych. [tex]\left\{\begin{array}{ccc}ax+by=c\\dx+ey=f\end{array}\right[/tex] Budujemy i obliczamy wyznaczniki: [tex]W=\left|\begin{array}{ccc}a&b\\d&e\end{array}\right|=ae-bd\\\\W_x=\left|\begin{array}{ccc}c&b\\f&e\end{array}\right|=ce-bf\\\\W_y=\left|\begin{array}{ccc}a&c\\d&f\end{array}\right|=af-cd[/tex] Wówczas: - jeżeli [tex]W=0\ \wedge\ (W_x\neq0\ \vee\ W_y\neq0), to ukłąd równań jest sprzeczny - jeżeli [tex]W=0\ \wedge\ W_x=0\ \wedge\ W_y=0[/tex], to układ równań jest nieoznaczony - jeżeli [tex]W\neq0[/tex], to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie postaci: [tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=\dfrac{W_x}{W}\\\\y=\dfrac{W_y}{W}\end{array}\right[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Aby sprawdzić, czy dana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań, należy podstawić wartości zmiennych do równań i sprawdzić ich prawdziwość.
c) Para (3, 3) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
d) Para (2, 0) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
e) Para (1/3, 4/3) jest rozwiązaniem danego układu równań.
Para liczb spełniająca układa równań.
Układ równań są to dwa, trzy, cztery, ... równania z niewiadomymi. Niewiadome oznaczone tą samą literą w każdym równaniu oznacza tą samą niewiadomą (ma mieć tą samą wartość).
Rodzaje układów równań:
Metody rozwiązywania układów równań (te, które uczy się w szkole):
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}ax+by=c\\dx+ey=f\end{array}\right[/tex]
Budujemy i obliczamy wyznaczniki:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}a&b\\d&e\end{array}\right|=ae-bd\\\\W_x=\left|\begin{array}{ccc}c&b\\f&e\end{array}\right|=ce-bf\\\\W_y=\left|\begin{array}{ccc}a&c\\d&f\end{array}\right|=af-cd[/tex]
Wówczas:
- jeżeli [tex]W=0\ \wedge\ (W_x\neq0\ \vee\ W_y\neq0), to ukłąd równań jest sprzeczny
- jeżeli [tex]W=0\ \wedge\ W_x=0\ \wedge\ W_y=0[/tex], to układ równań jest nieoznaczony
- jeżeli [tex]W\neq0[/tex], to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie postaci:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=\dfrac{W_x}{W}\\\\y=\dfrac{W_y}{W}\end{array}\right[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Aby sprawdzić, czy dana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań, należy podstawić wartości zmiennych do równań i sprawdzić ich prawdziwość.
c)
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2y-3=x\\2x+y=-1\end{array}\right\qquad(3,\ 3)\to x=3\ \wedge\ y=3[/tex]
[tex]2y-3=x\\\\L=2\cdot3-3=6-3=3\\P=3\\\boxed{L=P}[/tex]
[tex]2x+y=-1\\\\L=2\cdot3+3=6+3=9\\P=-1\\\boxed{L\neq P}[/tex]
Para (3, 3) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
d)
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2(x-1)=3y\\x=1-y\end{array}\right\qquad(2,\ 0)\to x=2\ \wedge\ y=0[/tex]
[tex]2(x-1)=3y\\\\L=2\cdot(2-1)=2\cdot1=2\\P=0\\\boxed{L\neq P}[/tex]
Para (2, 0) nie jest rozwiązaniem danego układu równań.
e)
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}5x+y=3\\7x-4y=-3\end{array}\right\qquad\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{4}{3}\right)\to x=\dfrac{1}{3}\ \wedge\ y=\dfrac{4}{3}[/tex]
[tex]5x+y=3\\\\L=5\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{9}{3}=3\\P=3\\\boxed{L=P}[/tex]
[tex]7x-4y=-3\\\\L=7\cdot\dfrac{1}{3}-4\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{16}{3}=\dfrac{-9}{3}=-3\\P=-3\\\boxed{L=P}[/tex]
Para (1/3, 4/3) jest rozwiązaniem danego układu równań.