Question

Zadanie w załączniku dla lepszej czytelności potęg etc.


Odpowiedź i obliczenia, dzięki!

Answer 1

m = 4; m = -2

Jak wyznaczyć wartości parametru m, dla którego zbiór wartości funkcji dany jest przedziałem <6, +∞)?

Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego zadania sprowadźmy funkcję do prostszej postaci, stosując w nawiasie wzór skróconego mnożenia, a następnie redukując wyrazy podobne:

[tex]f(x)=2(x-7)^2+m^2-2m-2\\f(x)=2(x^2-14x+49)+m^2-2m-2\\f(x)=2x^2-28x+98+m^2-2m-2\\f(x)=2x^2-28x+m^2-2m+96[/tex]

Zbiorem wartości naszej funkcji ma być przedział <6, +∞). Możemy więc wywnioskować, że funkcja ta nie będzie miała żadnych miejsc zerowych. Pierwszym naszym założeniem do tego zadania będzie więc to, że delta musi być ujemna (w tym wypadku nie będziemy mieli miejsc zerowych).

Drugim naszym założeniem musi być to, żeby ramiona tej funkcji były skierowane do góry, ponieważ wtedy naszym zbiorem wartości będzie przedział <6, +∞), czyli przedział od wierzchołka paraboli do nieskończoności. Widzimy, że to założenie już jest spełnione, ponieważ a > 0.

Trzecim i ostatnim naszym założeniem będzie to, że druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli "q", musi równać się 6, ponieważ wtedy zbiór wartości będzie zaczynał się od wierzchołka paraboli, czyli od "q", a przy ramionach funkcji do góry, zbiór wartości będzie dany przedziałem  <6, +∞).

I. [tex]\Delta < 0[/tex]

Wypiszmy wartości współczynników do obliczenia delty:

a = 2,

b = -28

c = m² - 2m + 96

Obliczmy deltę:

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-28)^2-4*2*(m^2-2m+96)\\\Delta=784-8m^2+16m-768\\\Delta=-8m^2+16m+16[/tex]

Delta musi być mniejsza od 0:

[tex]-8m^2+16m+16 < 0|:(-8)\\m^2-2m-2 > 0\\[/tex]

Rozwiążmy nierówność kwadratową:

[tex]m^2-2m-2 > 0\\\Delta=4-4*1*(-2)\\\Delta=4+8=12\\\sqrt{\Delta} =2\sqrt3\\\\m_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{2+2\sqrt3}{2}=\sqrt3+1 \\m_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{2-2\sqrt3}{2}=1-\sqrt{3}[/tex]

Zaznaczamy te punkty na osi i odczytujemy wartości większe od 0 (zobacz rysunek):

m ∈ (-∞, 1-√3) ∪ (√3 + 1, +∞)

Dla pierwszego założenia przedział w jakim musi znajdować się m to m ∈ (-∞, 1-√3) ∪ (√3 + 1, +∞).

II. q = 6

Aby druga współrzędna wierzchołka paraboli równała się 6, musimy zastosować wzór na "q":

[tex]q=\frac{-\Delta}{4a} \\\\6=\frac{-(-8m^2+16m+16)}{4*2} =\frac{8m^2-16m-16}{8}=m^2-2m-2\\\\m^2-2m-2=6|-6\\m^2-2m-8=0[/tex]

Rozwiążmy to równanie:

[tex]m^2-2m-8=0\\\Delta=4-4*1*(-8)=4+32=36\\\sqrt{\Delta}=6\\ m_1=\frac{2+6}{2} =4\\m_2=\frac{2-6}{2} =\frac{-4}{2}=-2[/tex]

W drugim założeniu m musi się równać 4 lub -2. Teraz musimy odczytać część wspólną tych dwóch założeń:

• m ∈ (-∞, 1-√3) ∪ (√3 + 1, +∞)
• m = -2 oraz m =4

Musimy oszacować ile w przybliżeniu wynosi wyrażenie  1-√3 oraz √3 + 1:

1-√3 ≈ -0,7

√3 + 1 ≈ 2,73

Częścią wspólną tych dwóch założeń będzie więc m = -2 oraz m = 4, ponieważ oba te rozwiązania znajdują się w przedziale m.

#SPJ1