Question

zadanie w załączniku

Answer 1

[tex]1*3^{\frac{1}{3}}*9^{\frac{1}{9}}*27^{\frac{1}{27}}*...=\sqrt[4]{27}[/tex]

Oznaczmy lewą stronę równości jako L, a prawą jako P.

Wykonajmy kilka przekształceń dla lewej strony nierówności.

[tex]L=1*3^{\frac{1}{3}}*9^{\frac{1}{9}}*27^{\frac{1}{27}}*...=3^0*3^{\frac{1}{3}}*3^{\frac{2}{9}}*3^{\frac{3}{27}}*...=3^{0+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+...}[/tex]

Wykładnik (oznaczmy go jako W) jest sumą nieskończonego ciągu. Policzmy wartość tego wykładnika.

[tex]W=0+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+...=0+\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n}=\sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^n=\\=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}[/tex]

Zauważmy, że wyrażenie [tex]n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}[/tex] przypomina wzór na pochodną:

[tex]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/tex]

Zdefiniujmy funkcję

[tex]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left( x^n\right)'=\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)'[/tex]

Szereg w nawiasie jest zbieżny dla [tex]x\in(-1,1)[/tex], a jego suma, na mocy wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, wynosi

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}[/tex]

Stąd

[tex]f(x)=\left(\frac{1}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]

Wracając do wykładnika W, mamy

[tex]W=\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}*\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{3}*\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{1}{3}*\frac{1}{\frac{4}{9}}=\frac{1}{3}*\frac{9}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

Wracając do lewej strony równania, mamy

[tex]L=3^W=3^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}=P[/tex]

To kończy dowód.