Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 1
a)
(x - 3)² = (2x - 1)(x - 3) to
(x - 3)²- (2x - 1)(x - 3) = 0 to
(x - 3)[(x - 3 - (2x - 1)]= 0 to
(x - 3)[x - 3 - 2x + 1] = 0 to
(x - 3)[- x - 2] = 0 to
- (x - 3)(x + 2) = 0
Jest to postać iloczynowa równania, z której rozwiązania możemy "czytać" wprost z równania:
x₁ = 3 lub x₂ = - 2
[bo jak podstawimy x₁ = 3 lub x₂ = - 2, to w jednym z nawiasów
będzie wartość zero 0, to iloczyn nawiasów będzie równy zero 0,
więc rozwiązania x₁ = 3 lub x₂ = - 2, są rozwiązaniami tego
równania.]
b)
x⁴ + 6x² - 16 = 0
Jest to równanie dwukwadratowe, które sprowadzamy do równania
kwadratowego przez podstawienie: x² = z ⩾ 0
to
z² + 6z - 16 = 0
Wyróżnik równania Δ = 36+ 4 * 16 = 100 to √∆ = 10 to
z₁ = (- 6 - 10)/2 = - 8, sprzeczne z założeniem: x² = z ⩾ 0, odpada,
z₂ = (- 6 + 10)/2 = 2 to x² = 2 to x₁ = - √2, x ₂ =√2
są rozwiązaniami tego równania.
Sprawdzenie:
x⁴ + 6x² - 16 = 0 to (∓√2)⁴ + 6 * (∓√2)² - 16 = 2² + 6 * 2 - 16 =
= 4 + 12 - 16 = 0, co należało sprawdzić.
c)
3x² - 2x - 1 ⩾ 0, najpierw rozwiązujemy równanie 3x² - 2x - 1 = 0
Wyróżnik równania Δ = 4 + 12 = 16 to √∆ = 4 to
x₁ = (2 - 4)/6 = - 1/3, x₂ = (2 + 4)/6 = 1, to postać iloczynowa:
a(x - x₁)(x - x₂) = 0 to 3(x - 1)(x + 1/3) = 0
Wnioski:
Równanie przedstawia parabolę skierowaną gałęziami do dołu
(bo współczynnik a = 3 > 0), gdzie x₁ = - 1/3 i x₂ = 1 są miejscami
zerowymi równania - są punktami przecięcia się wykresu paraboli z
osią 0X,
ta część wykresu paraboli, która leży nad osią 0X, wraz z punktami
miejsc zerowych (bo znak nierówności jest: ⩾ 0) jest rozwiązaniem
zadanej nierówności: 3x² - 2x - 1 ⩾ 0,
to:
Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział: x ∈ ⟨- 1/3, 1⟩
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 1
a)
(x - 3)² = (2x - 1)(x - 3) to
(x - 3)²- (2x - 1)(x - 3) = 0 to
(x - 3)[(x - 3 - (2x - 1)]= 0 to
(x - 3)[x - 3 - 2x + 1] = 0 to
(x - 3)[- x - 2] = 0 to
- (x - 3)(x + 2) = 0
Jest to postać iloczynowa równania, z której rozwiązania możemy "czytać" wprost z równania:
x₁ = 3 lub x₂ = - 2
[bo jak podstawimy x₁ = 3 lub x₂ = - 2, to w jednym z nawiasów
będzie wartość zero 0, to iloczyn nawiasów będzie równy zero 0,
więc rozwiązania x₁ = 3 lub x₂ = - 2, są rozwiązaniami tego
równania.]
b)
x⁴ + 6x² - 16 = 0
Jest to równanie dwukwadratowe, które sprowadzamy do równania
kwadratowego przez podstawienie: x² = z ⩾ 0
to
z² + 6z - 16 = 0
Wyróżnik równania Δ = 36+ 4 * 16 = 100 to √∆ = 10 to
z₁ = (- 6 - 10)/2 = - 8, sprzeczne z założeniem: x² = z ⩾ 0, odpada,
z₂ = (- 6 + 10)/2 = 2 to x² = 2 to x₁ = - √2, x ₂ =√2
są rozwiązaniami tego równania.
Sprawdzenie:
x⁴ + 6x² - 16 = 0 to (∓√2)⁴ + 6 * (∓√2)² - 16 = 2² + 6 * 2 - 16 =
= 4 + 12 - 16 = 0, co należało sprawdzić.
c)
3x² - 2x - 1 ⩾ 0, najpierw rozwiązujemy równanie 3x² - 2x - 1 = 0
Wyróżnik równania Δ = 4 + 12 = 16 to √∆ = 4 to
x₁ = (2 - 4)/6 = - 1/3, x₂ = (2 + 4)/6 = 1, to postać iloczynowa:
a(x - x₁)(x - x₂) = 0 to 3(x - 1)(x + 1/3) = 0
Wnioski:
Równanie przedstawia parabolę skierowaną gałęziami do dołu
(bo współczynnik a = 3 > 0), gdzie x₁ = - 1/3 i x₂ = 1 są miejscami
zerowymi równania - są punktami przecięcia się wykresu paraboli z
osią 0X,
to
ta część wykresu paraboli, która leży nad osią 0X, wraz z punktami
miejsc zerowych (bo znak nierówności jest: ⩾ 0) jest rozwiązaniem
zadanej nierówności: 3x² - 2x - 1 ⩾ 0,
to:
Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział: x ∈ ⟨- 1/3, 1⟩