Wartość sinα, kiedy α jest kątem ostrym, możemy zapisać jako stosunek boku trójkąta prostokątnego leżącego naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej tego trójkąta:
[tex]\sin\alpha = \frac{a}{c}[/tex]
1.
W trójkącie ACD naprzeciwko α leży bok CD, a przeciwprostokątną jest bok AC. Możemy więc zapisać:
Obliczanie długości boków trójkąta prostokątnego
1.
|AD| = 2√6
2.
Obw. = 2√3 + √6 + 3√2
Rozwiązanie:
Wartość sinα, kiedy α jest kątem ostrym, możemy zapisać jako stosunek boku trójkąta prostokątnego leżącego naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej tego trójkąta:
[tex]\sin\alpha = \frac{a}{c}[/tex]
1.
W trójkącie ACD naprzeciwko α leży bok CD, a przeciwprostokątną jest bok AC. Możemy więc zapisać:
[tex]\frac{\sqrt{3} }{3} = \frac{2\sqrt{3} }{|AC|}[/tex]
√3|AC| = 6√3
Otrzymujemy długość boku AC:
|AC| = 6
Z twierdzenia Pitagorasa, możemy policzyć długość boku AD:
|AD|² + (2√3)² = 6²
|AD|² + 12 = 36
|AD|² = 24
|AD| = √24 = 2√6
2.
Ponownie korzystamy z sinα, aby zapisać zależność między bokami BC i AB:
[tex]\frac{\sqrt{3} }{3} = \frac{|BC| }{|AB|}[/tex]
Możemy uzależnić |BC| od |AB|:
[tex]\frac{\sqrt{3} }{3}|AB| = |BC|[/tex]
Obliczamy |BC| z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]36 + (\frac{\sqrt{3} }{3}|AB|)^2 = |AB|^2[/tex]
[tex]36 + \frac{ 1}{3}|AB|^2 = |AB|^2[/tex]
[tex]36 = \frac{2}{3} |AB|^2 | * \frac{3}{2}[/tex]
[tex]54 = |AB|^2[/tex]
Otrzymujemy wynik:
|AB| = 3√6
Możemy obliczyć długość odcinka BC praz podstawienie:
[tex]|BC| = \frac{\sqrt{3} }{3} * 3\sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}[/tex]
Musimy jeszcze znaleźć długość odcinka DB. Możemy go obliczyć odejmując długość AD od AB:
|DB| = 3√6 - 2√6 = √6
Obliczamy obwód trójkąta BCD:
Obw. = 2√3 + √6 + 3√2
#SPJ1