a)
[tex]\frac1{10*11}+\frac{1}{11*12}+\frac{1}{12*13}+...+\frac{1}{89*90}[/tex]
Rozpisujemy pierwszy ułamek. Przedstawiamy licznik jako różnicę czynników iloczynu w mianowniku, następnie rozdzielamy je na dwa odrębne ułamki oraz kracamy.
[tex]\underline{\frac1{10*11}=\frac{11-10}{10*11}=\frac{11}{10*11}-\frac{10}{10*11}=\frac{1}{10}-\frac1{11}}[/tex]
Na tej samej zasadzie rozpisujemy kolejne nawiasy.
Ułamki o przeciwnych znakach skracają się po opuszczeniu nawiasów, czyli:
[tex]=(\frac1{10}-\frac1{11})+(\frac1{11}-\frac1{12})+(\frac1{12}-\frac1{13})+...-\frac1{89})+\frac1{89}+\frac1{90}=\frac1{10}+\frac1{90}=\frac{9}{90}+\frac1{90}=\frac{8}{90}=\boxed{\frac4{45}}[/tex]
b)
[tex]\frac2{1*3}+\frac2{3*5}+\frac3{5*7}+...+\frac2{19*21}[/tex]
[tex]\underline{\frac2{1*3}=\frac{3-1}{1*3}=\frac{3}{1*3}-\frac1{1*3}=\frac11-\frac13=1-\frac13}[/tex]
[tex](1-\frac13)+(\frac{1}3-\frac{1}5)+(\frac{1}5-\frac17)+...-\frac1{19})+(\frac1{19}-\frac1{21})=1-\frac1{21}=\frac{21}{21}-\frac{1}{21}=\boxed{\frac{20}{21}}[/tex]
c)
[tex]\frac1{1*3}+\frac1{3*5}+\frac1{5*7}+\frac1{99*101}[/tex]
Rozpisujemy pierwszy ułamek jako połowę ułamka, którego liczkiem jest różnica liczb w mianowniku.
[tex]\underline{\frac1{1*3}=\frac12*\frac{3-1}{1*3}=\frac12*(\frac3{1*3}-\frac1{1*3})=\frac12(1-\frac13)}[/tex]
[tex]\frac12(1-\frac13)+\frac12(\frac13-\frac15)+\frac12(\frac15-\frac17)+...-\frac1{99})+\frac12(\frac1{99}-\frac1{101})=\\\frac12[(1-\frac13)+(\frac13-\frac15)+(\frac15-\frac17)+...-\frac1{99})+(\frac1{99}-\frac1{101})]=\\\frac12(1-\frac1{101})=\frac12(\frac{101}{101}-\frac1{101})=\frac12*\frac{100}{101}=\boxed{\frac{50}{101}}[/tex]
d)
[tex]\frac1{2*4}+\frac1{4*6}+\frac1{6*8}+...+\frac1{48*50}[/tex]
[tex]\underline{\frac1{2*4}=\frac{4-2}{2*4}*\frac12=\frac12(\frac4{2*4}-\frac2{2*4})=\frac12(\frac12-\frac14)}[/tex]
[tex]\frac12(\frac12-\frac13)+\frac12(\frac14-\frac16)+\frac12(\frac16-\frac18)+...-\frac1{48})+\frac12(\frac1{48}-\frac1{50})=\\\frac12[(\frac12-\frac13)+(\frac14-\frac16)+(\frac16-\frac18)+...-\frac1{48})+(\frac1{48}-\frac1{50})]=\\\frac12(\frac12-\frac1{50})=\frac12(\frac{25}{50}-\frac1{50})=\frac12*\frac{24}{50}=\boxed{\frac{6}{25}}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
a)
[tex]\frac1{10*11}+\frac{1}{11*12}+\frac{1}{12*13}+...+\frac{1}{89*90}[/tex]
Rozpisujemy pierwszy ułamek. Przedstawiamy licznik jako różnicę czynników iloczynu w mianowniku, następnie rozdzielamy je na dwa odrębne ułamki oraz kracamy.
[tex]\underline{\frac1{10*11}=\frac{11-10}{10*11}=\frac{11}{10*11}-\frac{10}{10*11}=\frac{1}{10}-\frac1{11}}[/tex]
Na tej samej zasadzie rozpisujemy kolejne nawiasy.
Ułamki o przeciwnych znakach skracają się po opuszczeniu nawiasów, czyli:
[tex]=(\frac1{10}-\frac1{11})+(\frac1{11}-\frac1{12})+(\frac1{12}-\frac1{13})+...-\frac1{89})+\frac1{89}+\frac1{90}=\frac1{10}+\frac1{90}=\frac{9}{90}+\frac1{90}=\frac{8}{90}=\boxed{\frac4{45}}[/tex]
b)
[tex]\frac2{1*3}+\frac2{3*5}+\frac3{5*7}+...+\frac2{19*21}[/tex]
[tex]\underline{\frac2{1*3}=\frac{3-1}{1*3}=\frac{3}{1*3}-\frac1{1*3}=\frac11-\frac13=1-\frac13}[/tex]
[tex](1-\frac13)+(\frac{1}3-\frac{1}5)+(\frac{1}5-\frac17)+...-\frac1{19})+(\frac1{19}-\frac1{21})=1-\frac1{21}=\frac{21}{21}-\frac{1}{21}=\boxed{\frac{20}{21}}[/tex]
c)
[tex]\frac1{1*3}+\frac1{3*5}+\frac1{5*7}+\frac1{99*101}[/tex]
Rozpisujemy pierwszy ułamek jako połowę ułamka, którego liczkiem jest różnica liczb w mianowniku.
[tex]\underline{\frac1{1*3}=\frac12*\frac{3-1}{1*3}=\frac12*(\frac3{1*3}-\frac1{1*3})=\frac12(1-\frac13)}[/tex]
[tex]\frac12(1-\frac13)+\frac12(\frac13-\frac15)+\frac12(\frac15-\frac17)+...-\frac1{99})+\frac12(\frac1{99}-\frac1{101})=\\\frac12[(1-\frac13)+(\frac13-\frac15)+(\frac15-\frac17)+...-\frac1{99})+(\frac1{99}-\frac1{101})]=\\\frac12(1-\frac1{101})=\frac12(\frac{101}{101}-\frac1{101})=\frac12*\frac{100}{101}=\boxed{\frac{50}{101}}[/tex]
d)
[tex]\frac1{2*4}+\frac1{4*6}+\frac1{6*8}+...+\frac1{48*50}[/tex]
[tex]\underline{\frac1{2*4}=\frac{4-2}{2*4}*\frac12=\frac12(\frac4{2*4}-\frac2{2*4})=\frac12(\frac12-\frac14)}[/tex]
[tex]\frac12(\frac12-\frac13)+\frac12(\frac14-\frac16)+\frac12(\frac16-\frac18)+...-\frac1{48})+\frac12(\frac1{48}-\frac1{50})=\\\frac12[(\frac12-\frac13)+(\frac14-\frac16)+(\frac16-\frac18)+...-\frac1{48})+(\frac1{48}-\frac1{50})]=\\\frac12(\frac12-\frac1{50})=\frac12(\frac{25}{50}-\frac1{50})=\frac12*\frac{24}{50}=\boxed{\frac{6}{25}}[/tex]