Wielomiany W(x) i P(x) są równe dla wartości parametrów:
a = 6
b = 10
c = - 4
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wielomiany U(x) i V(x) są równe, jeżeli:
a) są wielomianami zerowymi;
lub
b) są wielomianami tego samego stopnia i współczynniki przy wyrazach wielomianów o analogicznych wykładnikach potęgowych są sobie równe.
Uwaga: Przez stopień wielomianu rozumiemy najwyższy (wartościowo) wykładnik potęgowy przy zmiennej (niewiadomej) w tym wielomianie.
[1] Sprawdzamy, czy wielomiany: W(x) i P(x) są wielomianami tego samego stopnia.
TAK - wielomiany W(x) i P(x) są wielomianami tego samego stopnia, gdyż najwyższy wykładnik potęgowy ich wyrazów wynosi: 3 oraz posiadają konstrukcję regularną, czyli posiadają człony o sukcesywnie obniżających się wykładnikach potęgowych oraz wyrazy wolne.
[2] Sprawdzamy równość współczynników przy poszczególnych wyrazach wielomianów W(x) i P(x):
a) przy wyrazie ze zmienną w trzeciej potędze:
W(x): (a -2)
P(x): 4
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: a-2 = 4 ----> a = 4+2
a = 6
b) przy wyrazie ze zmienną w drugiej potędze:
W(x): -2
P(x): (b-2a)
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: -2 = b-2a ----> b = -2+2a
b = 2*(-1 +a)
dla a = 6 -----> b = 2*(-1+6) = 2*5
b = 10
c) przy wyrazie ze zmienną w pierwszej potędze:
W(x): (b + c)
P(x): 6
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: b+c = 6 ----> c = 6 - b
Odpowiedź:
Wielomiany W(x) i P(x) są równe dla wartości parametrów:
a = 6
b = 10
c = - 4
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wielomiany U(x) i V(x) są równe, jeżeli:
a) są wielomianami zerowymi;
lub
b) są wielomianami tego samego stopnia i współczynniki przy wyrazach wielomianów o analogicznych wykładnikach potęgowych są sobie równe.
Uwaga: Przez stopień wielomianu rozumiemy najwyższy (wartościowo) wykładnik potęgowy przy zmiennej (niewiadomej) w tym wielomianie.
[1] Sprawdzamy, czy wielomiany: W(x) i P(x) są wielomianami tego samego stopnia.
TAK - wielomiany W(x) i P(x) są wielomianami tego samego stopnia, gdyż najwyższy wykładnik potęgowy ich wyrazów wynosi: 3 oraz posiadają konstrukcję regularną, czyli posiadają człony o sukcesywnie obniżających się wykładnikach potęgowych oraz wyrazy wolne.
[2] Sprawdzamy równość współczynników przy poszczególnych wyrazach wielomianów W(x) i P(x):
a) przy wyrazie ze zmienną w trzeciej potędze:
W(x): (a -2)
P(x): 4
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: a-2 = 4 ----> a = 4+2
a = 6
b) przy wyrazie ze zmienną w drugiej potędze:
W(x): -2
P(x): (b-2a)
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: -2 = b-2a ----> b = -2+2a
b = 2*(-1 +a)
dla a = 6 -----> b = 2*(-1+6) = 2*5
b = 10
c) przy wyrazie ze zmienną w pierwszej potędze:
W(x): (b + c)
P(x): 6
Zatem, z warunku koniecznego równości wielomianów W(x) i P(x), musi zachodzić równość: b+c = 6 ----> c = 6 - b
dla b = 10 ----> c = 6 - 10
c = - 4
b) wartość wyrazu wolnego:
W(x): - 4
P(x): - 4
Zatem, zachodzi równość: - 4 = - 4
Odpowiedź:
W(x) = (a - 2)x³ - 2x² + (b + c)x - 4
P(x) = 4x³ + (b - 2a)x² + 6x - 4
W(x) = P(x)
Ponieważ wielomiany są tego samego stopnia , więc aby zachodziła równość poszczególne wyrażenia stojące przy x³ , x² i x muszą być sobie równe
1.
a - 2 = 4
a = 4 + 2 = 6
2.
b - 2a = - 2
b = - 2 + 2a
b = - 2 + 2 * 6 = - 2 + 12 = 10
3.
b + c = 6
- 2 + 2a + c = 6
2a + c = 6 + 2
2a + c = 8
2 * 6 + c = 8
12 + c = 8
c = 8 - 12 = - 4
sprawdzenie
W(x) = (a - 2)x³ - 2x² + (b + c)x - 4 = (6 - 2)x³ - 2x² + (10 - 4)x - 4 =
= 4x³ - 2x² + 6x - 4
P(x) = 4x³ + (b - 2a)x² + 6x - 4 = 4x³ + (10 - 2 * 6)x² + 6x - 4 =
= 4x³ + (10 - 12)x² + 6x - 4 = 4x³ - 2x² + 6x - 4
W(x) = P(x)
Odp: a = 6 , b = 10 , c = - 4