Wysokość ostrosłupa wynosi [tex]\boxed{~12~cm~}[/tex] a jego objętość [tex]\boxed{~648~cm^{3}~}[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy z:
Twierdzenie Pitagorasa: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
[tex]\boxed{~~a\sqrt{2} ~~}~~\Rightarrow[/tex] długość przekątnej kwadratu gdzie a to długość boku kwadrata.
[tex]\boxed{P=a^{2}~~}~~\Rightarrow[/tex] wzór na pole kwadrata.
[tex]\boxed{~~V=\dfrac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H~~}~~\Rightarrow[/tex] wzór na objętość ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ⇒ w podstawie jest kwadrat.
Odpowiedź:
Wysokość ostrosłupa wynosi [tex]\boxed{~12~cm~}[/tex] a jego objętość [tex]\boxed{~648~cm^{3}~}[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy z:
rysunek poglądowy w załączniku
Rozwiązujemy:
Wprowadzamy oznaczenia:
Dane z treści zadania:
[tex]a\sqrt{2} =18~~\mid \div \sqrt{2} \\\\a=\dfrac{18}{\sqrt{2} } \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } \\\\\\a=\dfrac{18\!\!\!\!\diagup^9\sqrt{2} }{2\!\!\!\diagup_1} \\\\\boxed{~~a=9\sqrt{2} ~cm~~}[/tex]
[tex]P_{p} =a^{2} ~~\land~~a=9\sqrt{2} ~cm\\\\P_{p} =( 9\sqrt{2} ~cm)^{2}\\\\\boxed{~~P_{p} =162~cm^{2}~~}[/tex]
[tex]H^{2}+(9cm)^{2}=b^{2}~~\land~~b=15~cm\\\\H^{2}+81~cm^{2}=225~cm^{2}\\\\H^{2}=144~cm^{2}~~\land~~H > 0~~\Rightarrow~~\boxed{~~H=12~cm~~}[/tex]
[tex]V=\dfrac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H~~\land~~H=12~cm~~\land~~P_{p}=162~cm^{2}\\\\V=\dfrac{1}{3\!\!\!\!\diagup_1} \cdot 12\!\!\!\!\!\diagup^4~cm \cdot 162~cm^{2}\\\\\boxed{~~V=648~~cm^{3}~~}[/tex]