Question

Zadanie: Miejsce zerowe funkcji - zadania z parametrem

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Podane funkcje są funkcjami liniowymi w postaci kierunkowej

f(x) = ax + b

a - współczynnik kierunkowy funkcji liniowej

b - wyraz wolny

x₀ - miejsce zerowe funkcji liniowej = - b/a

1.

f(x) = ( - 1 + m)x + 9

a = - 1 + 9

b = 9

x₀ = - b/a = - 9/( - 1 + m) = 2

- 9/( - 1 + m) = 2

- 9 = 2(- 1 + m)

- 9 = - 2 + 2m

2m = - 9 + 2 = - 7

m = - 7/2 = - 3,5

2.

f(x) = (- 3 + m)x - 16

a = - 3 + m

b = - 16

x₀ = - b/a = 16/(- 3 + m)= - 2

16/(- 3 + m) = - 2

16 = - 2(- 3 + m)

16 = 6 - 2m

- 2m = 16 - 6

- 2m = 10

2m = - 10

m = - 10/2 = - 5

3.

f(x) = ( - 2 + m)x + 20

a = - 2 + m

b = 20

x₀ = - 20/(- 2 + m)

- 20/(- 2 + m) = 5

- 20 = 5(- 2 + m)

- 20 = - 10 + 5m

5m = - 20 + 10

5m = - 10

m = - 10/5

m = - 2

Answer 2

FUNKCJA LINIOWA

Wzór funkcji liniowej:

[tex]f(x)=ax+b\\y=ax+b[/tex]

gdzie:

a - współczynnik kierunkowy prostej (decyduje o monotoniczności funkcji)

b - wyraz wolny (miejsce przecięcia osi OY przez prostą - wykresem funkcji liniowej jest prosta)

Zadanie 1

Dla jakiego parametru m, liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji [tex]f(x)=(-1+m)x+9[/tex]?

Jest to funkcja liniowa, gdyż ,,x" występuje w pierwszej potędze. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej możemy skorzystać z dwóch sposobów.

I SPOSÓB - skorzystanie ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej przez podstawienie do niego danych wartości (za [tex]x_0[/tex] podstawiamy 2, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex]x_0=-\frac{b}{a} \\2=-\frac{9}{-1+m}\\Dziedzina:\\-1+m \neq 0\\m \neq 1\\m \in R \backslash \{1\}\\2=-\frac{9}{-1+m} / \cdot (-1+m)\\2(-1+m)=-9\\-2+2m=-9\\2m=-9+2\\2m=-7 /:2\\m=-\frac{7}{2} \\m=-3\frac{1}{2}\\m=-3,5[/tex]

II SPOSÓB - przyrównanie wzoru funkcji liniowej do zera (za x podstawiamy 2, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex](-1+m)x+9=0\\(-1+m) \cdot 2 + 9 = 0\\-2+2m+9=0\\2m=2-9\\2m=-7/:2\\m=-\frac{7}{2} \\m=-3\frac{1}{2}\\m=-3,5[/tex]

odp. Dla m=-3,5 miejscem zerowym tej funkcji liczba 2.

Zadanie 2

Dla jakiego parametru m, liczba -2 jest miejscem zerowym funkcji [tex]f(x)=(-3+m)x-16[/tex]?

Jest to funkcja liniowa, gdyż ,,x" występuje w pierwszej potędze. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej możemy skorzystać z dwóch sposobów.

I SPOSÓB - skorzystanie ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej przez podstawienie do niego danych wartości (za [tex]x_0[/tex] podstawiamy -2, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex]x_0=-\frac{b}{a} \\-2=-\frac{-16}{-3+m} \\Dziedzina:\\-3+m \neq 0\\m \neq 3\\m \in R \backslash \{3\}\\-2=-\frac{-16}{-3+m} /\cdot (-3+m)\\-2(-3+m)=-(-16)\\6-2m=16\\-2m=16-6\\-2m=10/:(-2)\\m=-5 \in D[/tex]

II SPOSÓB - przyrównanie wzoru funkcji liniowej do zera (za x podstawiamy 2, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex](-3+m)x-16=0\\(-3+m) \cdot (-2)-16=0\\6-2m-16=0\\-2m=-6+16\\-2m=10/:(-2)\\m=-5[/tex]

odp. Dla m=-5 miejscem zerowym tej funkcji liczba -2.

Zadanie 3

Dla jakiego parametru m, liczba 5 jest miejscem zerowym funkcji [tex]f(x)=(-2+m)x+20[/tex]?

Jest to funkcja liniowa, gdyż ,,x" występuje w pierwszej potędze. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej możemy skorzystać z dwóch sposobów.

I SPOSÓB - skorzystanie ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej przez podstawienie do niego danych wartości (za [tex]x_0[/tex] podstawiamy 5, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex]x_0=-\frac{b}{a} \\5=-\frac{20}{-2+m} \\Dziedzina:\\-2+m \neq 0\\m \neq 2\\m \in R \backslash \{2\}\\5=-\frac{20}{-2+m} /\cdot (-2+m)\\5(-2+m)=-20\\-10+5m=-20\\5m=-20+10\\5m=-10/:5\\m=-2 \in D[/tex]

II SPOSÓB - przyrównanie wzoru funkcji liniowej do zera (za x podstawiamy 2, gdyż ta liczba ma być miejscem zerowym tej funkcji)

[tex](-2+m)x+20=0\\(-2+m) \cdot 5 +20=0\\-10+5m+20=0\\5m=10-20\\5m=-10/:5\\m=-2[/tex]

odp. Dla m=-2 miejscem zerowym tej funkcji liczba 5.