Jeśli Δ >0 ⇒ funkcja kwadratowa ma dokładnie dwa miejsca zerowe
Wzory Viete'a ⇒ [tex]x_{1} \cdot x_{2} =\dfrac{c}{a}[/tex] jeśli Δ≥0
Informacje z treści zadania:
funkcja kwadratowa ma posiadać dwa miejsca zerowe ⇒ Δ > 0
pierwiastki są tych samych znaków ⇒ nie wiemy czy mają być dwa pierwiastki liczbami dodatnymi czy ujemnymi ⇒ tylko iloczyn dwóch liczb dodatnich lub ujemnych jest większe od zera ⇒ [tex]x_{1} \cdot x_{2} =\dfrac{c}{a} > 0[/tex]
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed {~~m\in(-10;-1)\cup(6;+\infty)~~}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy ze wzorów:
Informacje z treści zadania:
Obliczamy :
[tex]I.~~\Delta > 0\\\\x^{2} +(4-2m)x+m+10=0\\\\a=1,~~b=4-2m,~~c=m+10\\\\\Delta =b^{2} -4ac\\\\\Delta =(4-2m)^{2}-4\cdot 1\cdot (m+10)\\\\\Delta =16-16m+4m^{2}-4m-40\\\\\\\Delta =4m^{2} -20m-24~~\land ~~\Delta > 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow \\\\4m^{2}-20m-24 > 0~~\mid \div 4\\\\m^{2} -5m-6 > 0\\\\a=1,~~b=-5,~~c=-6\\\\\Delta =(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=49~~\Rightarrow ~~\sqrt{\Delta} =7\\\\m_{1} =\dfrac{5-7}{2} =-1~~\lor ~~m_{2}=\dfrac{5+7}{2} =6\\\\[/tex][tex]a=1~~\Rightarrow ~~ramiona~~paraboli ~~skierowane ~~do~~gory\\\\\huge\boxed {~~m\in (-\infty;-1)\cup (6;+\infty)~~}[/tex]
[tex]II.~~x_{1} \cdot x_{2} =\dfrac{c}{a} > 0\\\\c=m+10,~~a=1\\\\\dfrac{m+10}{1} > 0\\\\m+10 > 0\\\\m > -10~~\Rightarrow ~~m\in(-10;+\infty)\\\\\huge\boxed {~~m\in(-10;\infty)~~}[/tex]
[tex]\boxed{~~[(-\infty;-1)\cup (6;+\infty)]\cap [(-10;+\infty)]=(-10;-1)\cup (6;+\infty)~~}[/tex]