Question

Zadanie 9 tylko prosze o rozwiazanie

Answer 1

[tex]\left( \large\text{$\frac1{36},\ \frac16,\ 1,\ 6$}\right)[/tex]

Ciąg geometryczny

jest rosnący w dwóch przypadkach:

• a₁ > 0   i q > 1
• a₁ < 0  i   q ∈ (0, 1)

Dla dodatniego q wszystkie wyrazy mają ten sam znak.

Zatem, skoro a₁ + a₄ > 0  to wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

a₁ > 0  i ciąg rosnący, czyli q > 1

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:  

                  [tex]\Large\text{$\bold{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}$}[/tex]

Stąd:

         a₂ = a₁q
         a₃ = a₁q²
         a₄ = a₁q³

Z treści zadania wiemy że:

                                [tex]1^o.\quad a_1+a_4=6\frac1{36}\\\\2^o.\quad a_2+a_3=\frac76[/tex]

Z pierwszego warunku mamy:

[tex]a_1+a_1q^3=\frac{217}{36}\\\\a_1(1+q^3)=\frac{217}{36}\qquad|\!:\!(1+q^3)[/tex]       {możemy podzielić, bo q>1, więc 1+q³≠0}

[tex]a_1=\dfrac{217}{36(1+q^3)}[/tex]

Z drugiego warunku mamy:

[tex]a_1q+a_1q^2=\frac76\\\\a_1(q+q^2)=\frac76\qquad|\!:\!(q+q^2)\\\\ a_1=\dfrac{7}{6(q+q^2)}[/tex]

Czyli:

      [tex]\dfrac{7}{6(q+q^2)}=\dfrac{217}{36(1+q^3)}\qquad|\!\cdot\!\frac{36}{7}\\\\\\\dfrac{6}{(q+q^2)}=\dfrac{31}{(1+q^3)}\qquad|\!\cdot\!(1+q^3)(q+q^2)\\\\\\6(1+q^3)=31(q+q^2)\\\\6+6q^3=31q+31q^2\\\\6q^3-31q^2-31q+6=0[/tex]

Otrzymane równanie rozwiązujemy dowolnym sposobem.

Ja korzystam z:

• grupowania wyrazów
• wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
• własności iloczynu (iloczyn jest równy 0 tylko jeśli co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0)

[tex]6q^3-31q^2-31q+6=0\\\\6q^3+6-31q^2-31q=0\\\\6(q^3+1)-31q(q+1)=0\\\\ 6(q+1)(q^2-q+1)-31q(q+1)=0\\\\(q+1)[6(q^2-q+1)-31q]=0\\\\(q+1)(6q^2-6q+6-31q)=0\\\\6q^2-37q+6=0\qquad\vee\qquad q+1=0\\\\6q^2-q-36q+6=0\quad\vee\qquad q=-1\ \not > 1\\\\q(6q-1)-6(6q-1)=0\\\\(6q-1)(q-6)=0\\\\q-6=0\quad\vee\quad 6q-1=0\\\\q=6\qquad\ \vee\qquad q=\frac16\ \not > 1[/tex]

Otrzymaliśmy trzy możliwe wartości q, z których dwie nie spełniają warunku początkowego:  q > 1

Czyli:

       q = 6

Stąd:

         [tex]\large\text{$\bold{a_1=\frac7{6\cdot(6+6^2)}=\frac7{6\cdot42}=\frac1{6\cdot6}=\frac1{36}}$}[/tex]

         [tex]\large\text{$\bold{a_2=a_1\cdot q=\frac1{36}\cdot6=\frac16}$}[/tex]

         [tex]\large\text{$\bold{a_3=a_1\cdot q^2=\frac1{36}\cdot36=1}$}[/tex]

         [tex]\large\text{$\bold{a_4=a_1\cdot q^3=\frac1{36}\cdot216=6}$}[/tex]  

Zatem szukany ciąg to:

                                [tex]\bold{\large\boxed{\left( \frac1{36},\ \frac16,\ \huge\text{$1$},\ \huge\text{$6$}\right)}}[/tex]