to ciąg w którym każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej q zwanej ilorazem ciągu geometrycznego: [tex]a_n=a_{n-1}\cdot q[/tex]
Skoro ciąg geometryczny jest rosnący, to:
a₁ > 0 i q > 1
albo
a₁ < 0 i q ∈ (0, 1)
Podane sumy wyrazów są dodatnie, więc a₁ > 0, czyli q > 1
n-ty wyraz ciągu geometrycznego to:[tex]\bold{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]
Odp.: [tex]a_1=\frac1{36},\ a_2=\frac16,\ a_3=1,\ a_4=6[/tex]
Ciąg geometryczny
to ciąg w którym każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej q zwanej ilorazem ciągu geometrycznego: [tex]a_n=a_{n-1}\cdot q[/tex]
Skoro ciąg geometryczny jest rosnący, to:
albo
Podane sumy wyrazów są dodatnie, więc a₁ > 0, czyli q > 1
n-ty wyraz ciągu geometrycznego to: [tex]\bold{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]
czyli mamy:
a₂ = a₁q
a₃ = a₁q²
a₄ = a₁q³
Z sumy dwóch środkowych wyrazów mamy:
[tex]a_2+a_3=\frac76\\\\a_1q+a_1q^2=\frac76\\\\a_1q(1+q)=\frac76\qquad|\!:\![q(1+q)]\\\\ a_1=\frac{7}{6q(1+q)}[/tex]
Czyli z sumy zewnętrznych wyrazów:
[tex]a_1+a_4=6\frac1{36}\\\\a_1+a_1q^3=\frac{217}{36}\\\\a_1(1+q^3)=\frac{217}{36}\\\\\frac{7}{6q(1+q)}(1+q^3)=\frac{217}{36}\\\\\frac{7}{6q(1+q)}(1+q)(q^2-q+1)=\frac{217}{36}\\\\\frac{7}{6q}(q^2-q+1)=\frac{217}{36}\qquad/\cdot\frac{36q}7\\\\6q^2-6q+6=31q\\\\6q^2-37q+6=0\\\\\Delta=(-37)^2-4\cdot6\cdot6=1369-144=1225\\\\\sqrt\Delta=35\\\\q_1=\frac{-(-37)-35}{2\cdot6}=\frac{2}{2\cdot6}=\frac16\ ,\qquad q_2=\frac{37+35}{2\cdot6}=\frac{72}{12}=6[/tex]
q = 1/6 odrzucamy bo nie spełnia warunku: q > 1
Czyli:
q = 6
Stąd:
[tex]\bold{a_1=\frac7{6\cdot6\cdot(1+6)}=\frac7{36\cdot7}=\frac1{36}}[/tex]
[tex]\bold{a_2=a_1\cdot q=\frac1{36}\cdot6=\frac16}[/tex]
[tex]\bold{a_3=a_2\cdot q=\frac1{6}\cdot6=1}[/tex]
[tex]\bold{a_4=a_3\cdot q=1\cdot6=6}[/tex]
Odpowiedź:
[tex]a_1, a_1 q, a_1 q^2, a_1 q^3[/tex]
Mamy
[tex]a_1 q + a_1 q^2 = \frac{7}{6}[/tex]
[tex]a_1 + a_1 q^3 = 6 \frac{1}{36} = \frac{217}{36}[/tex]
----------------
[tex]a_1*( q + q^2) = \frac{7}{6}[/tex]
[tex]a_1 *( 1 + q^3 ) = \frac{217}{36}[/tex]
-------------- dzielimy stronami
[tex]\frac{q + q^2}{1 + q^3} = \frac{7}{6} : \frac{217}{36} = \frac{7}{6} *\frac{36}{217} = \frac{6}{31}[/tex]
więc
6*( 1 + q³ ) = 31*( q + q² )
6 + 6 q³ - 31 q - 31 q² = 0
6 q³ - 31 q² - 31 q + 6 = 0
q = - 1
------------
( 6 q³ - 31 q² - 31 q + 6 ) : ( q + 1) = 6 q² - 37 q + 6
6 q² - 37 q + 6 = 0
Δ = 1369 - 4*6*6 = 1225
√Δ = 35
q = [tex]\frac{37 - 35}{12} = \frac{1}{6}[/tex] lub q = [tex]\frac{37 + 35}{12} = 6[/tex]
q = 6 bo ciąg ma być rosnący
-----------------------------------------------
[tex]6 a_1 + 36 a_1 = 42 a_1 = \frac{7}{6} / : 42[/tex]
[tex]a_1 = \frac{1}{36}[/tex]
----------------
[tex]a_n = a_1*q^{n - 1} = \frac{1}{36} *6^{n-1}[/tex]
===========================
Szczegółowe wyjaśnienie: