Question

Zadanie 8. (0-2)
Wypisano trzy kolejne liczby naturalne, począwszy od 2n. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest podzielny przez 8.​

Answer 1

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

W zadaniu musimy wykazać, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych począwszy od [tex]2n[/tex] jest podzielny przez [tex]8[/tex].

Rozwiązanie zadania:

Wypiszmy trzy kolejne liczby naturalne począwszy od [tex]2n[/tex]:

[tex]2n[/tex]

[tex]2n+1[/tex]

[tex]2n+2[/tex]

Zapiszmy iloczyn tych liczb:

[tex]2n(2n+1)(2n+2)[/tex]

Zauważmy teraz, że liczba [tex]2n[/tex] na pewno jest liczbą parzystą, ponieważ [tex]n[/tex] jest w tym przypadku dowolną liczbą naturalną. Jeśli liczbę naturalną pomnożymy razy [tex]2[/tex], to otrzymamy liczbę parzystą.

Zatem liczba [tex]2n+2[/tex] także będzie liczba parzystą.

Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest również liczbą parzystą, dodatkowo na pewno podzielną przez [tex]8[/tex]. Na przykład jeśli weźmiemy dwie najmniejsze dodatnie liczby parzyste, to mamy:

[tex]2\cdot 4=8[/tex]

Jeśli weźmiemy kolejne, to mamy:

[tex]4\cdot 6=24=3\cdot 8[/tex]

Zatem wśród dwóch kolejnych liczb parzystych na pewno będzie liczba podzielna przez [tex]2[/tex] oraz liczba podzielna przez [tex]4[/tex], a w rezultacie ich iloczyn będzie liczbą podzielną przez [tex]8[/tex].

Iloczyn liczby podzielnej przez [tex]8[/tex] i jakiejkolwiek innej liczby także będzie liczba podzielną przez [tex]8[/tex], co należało wykazać.

#SPJ1