Zadanie 8. (0-2)
Wypisano trzy kolejne liczby naturalne, począwszy od 2n. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest podzielny przez 8.
Wypisano trzy kolejne liczby naturalne, począwszy od 2n. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest podzielny przez 8.
Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.
W zadaniu musimy wykazać, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych począwszy od [tex]2n[/tex] jest podzielny przez [tex]8[/tex].
Rozwiązanie zadania:
Wypiszmy trzy kolejne liczby naturalne począwszy od [tex]2n[/tex]:
[tex]2n[/tex]
[tex]2n+1[/tex]
[tex]2n+2[/tex]
Zapiszmy iloczyn tych liczb:
[tex]2n(2n+1)(2n+2)[/tex]
Zauważmy teraz, że liczba [tex]2n[/tex] na pewno jest liczbą parzystą, ponieważ [tex]n[/tex] jest w tym przypadku dowolną liczbą naturalną. Jeśli liczbę naturalną pomnożymy razy [tex]2[/tex], to otrzymamy liczbę parzystą.
Zatem liczba [tex]2n+2[/tex] także będzie liczba parzystą.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest również liczbą parzystą, dodatkowo na pewno podzielną przez [tex]8[/tex]. Na przykład jeśli weźmiemy dwie najmniejsze dodatnie liczby parzyste, to mamy:
[tex]2\cdot 4=8[/tex]
Jeśli weźmiemy kolejne, to mamy:
[tex]4\cdot 6=24=3\cdot 8[/tex]
Zatem wśród dwóch kolejnych liczb parzystych na pewno będzie liczba podzielna przez [tex]2[/tex] oraz liczba podzielna przez [tex]4[/tex], a w rezultacie ich iloczyn będzie liczbą podzielną przez [tex]8[/tex].
Iloczyn liczby podzielnej przez [tex]8[/tex] i jakiejkolwiek innej liczby także będzie liczba podzielną przez [tex]8[/tex], co należało wykazać.
#SPJ1